МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 9. Шахматы и доски(12.02.2005)

1.

Шахматный конь стоит в левом нижнем углу доски. Может ли он через а) 4; б) 5; в) 2005 ходов вернуться на исходное поле?

Ответ Решение

Ответ. а) да; б) нет; в) нет.

Решение. в) Нет, так как при каждом ходе конь меняет цвет поля, значит, после нечётного числа ходов он может оказаться только на поле противоположного цвета.

2.

В каждой клетке треугольной доски размером 7×7×7 сидит жук. В один прекрасный момент каждый жук переполз на соседнюю по стороне клетку.
а) Докажите, что хотя бы одна клетка оказалась при этом свободной.
б) Какое наименьшее число клеток могло оказаться свободными?
в) Задача-конкурс. Придумайте такое «переползание» жуков, чтобы как можно больше клеток оказались пустыми.

Ответ Решение

Ответ. б) 7.

Решение. Раскрасим клетки доски в шахматном порядке. Тогда жуки, которые сидели на чёрных клетках, после переползания окажутся на белых, и наоборот. Поскольку клеток одного цвета на 7 больше, чем другого, останется по крайней мере 7 пустых клеток.

3.

Какое наибольшее число а) ладей; б) королей можно расставить на шахматной доске, чтобы они не били друг друга?

Ответ Решение

Ответ. а) 8, б) 16.

Решение.
а) Так как в каждом столбце может стоять не больше одной ладьи, то ладей не может быть больше восьми. Восемь ладей можно поставить, например, на одну из диагоналей.
б) Разобьём доску на 16 квадратиков 2×2. Тогда в каждом из них может стоять не больше одного короля. Значит, всего на доске не может быть больше 16 королей. 16 королей можно поставить, например, в левых верхних углах таких квадратиков.

4.

Можно ли разрезать шахматную доску на доминошки так, чтобы никакие две доминошки не образовали квадрат 2×2?

Ответ Указание

Ответ. Нет.

Указание. Противоречие легко получить, если попробовать разрезать доску, начиная с угла.

5.

Лена и Настя играют в следующую игру: в каждую клетку шахматной доски они по очереди ставят по шашке. Проигрывает тот, после чьего хода в столбце или строке окажется три шашки. Начинает Лена. Может ли одна из девочек играть так, чтобы всегда выигрывать, независимо от ходов соперницы?

Решение

Решение. Настя может играть так, чтобы всегда выигрывать. Для этого она должна делать ходы, симметричные ходам Лены относительно вертикальной оси. Тогда после хода Насти в столбце будет столько же шашек, сколько и после хода Лены, а в строке будет четное число шашек. Поэтому Лена первой получит три шашки.

6.

Можно ли разрезать шахматную доску на 15 вертикальных и 17 горизонтальных доминошек?

Ответ Решение

Ответ. Нет.

Решение. Допустим, так разрезать можно. Раскрасим доску на чёрные и белые горизонтальные полосы.
Тогда вертикальные доминошки займут 15 чёрных и 15 белых клеток. Соответственно, горизонтальным доминошкам достанется 49 чёрных и 49 белых клеток. Но каждая горизонтальная доминошка занимает две клетки одного цвета, значит, все горизонтальные доминошки должны занимать чётное число чёрных и чётное число белых клеток. Получили противоречие.