МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 2. Не в деньгах счастье (16.10.2004)

Вы, кажется, спросили про какие-то деньги?

О. Бендер

1.

В двух кошельках вместе лежит два рубля. При этом в одном кошельке денег в два раза больше, чем в другом. Как такое может быть?

Решение

Решение. Пусть один кошелёк большой, а другой маленький. При этом маленький кошелёк помещается в большой. Кладём по рублю в каждый из кошельков, а потом маленький кошелёк в большой.

2.

В копилке лежит 20 рублёвых монет и 20 двухрублёвых монет. Какое наименьшее число монет нужно выковырять из копилки, чтобы среди них наверняка оказались а) две монеты одного достоинства; б) две двухрублёвых монеты; в) две монеты разного достоинства?

Ответ Решение

Ответ. а) 3; б) 22; в) 21.

Решение.
а) Среди трёх монет всегда найдутся две одного достоинства, так как в копилке есть только два вида монет. С другой стороны, двух монет хватит не всегда, так как может попасться по одной монете каждого вида.
б) Среди 22 монет не может оказаться более 20 рублёвых, поэтому всегда найдутся как минимум две двухрублёвые. Если вытаскивать меньше 22 монет, то гарантировать выполнение указанного условия нельзя. Возможен случай, когда будут попадаться рублёвые монеты до тех пор, пока они не закончатся в копилке. Тогда двухрублёвых монет будет не больше одной (1 для случая, когда вытаскиваем всего 21 монету и 0 для случая, когда вытаскиваем меньше).
в) Если вытащить 21 монету, то все они не могут быть одинаковыми, так как монет каждого вида только 20. Поэтому среди них найдутся две разные. Если вытащить меньше 20 монет, то все они могут оказаться одинаковыми, поэтому двух монет разного достоинства среди них может и не оказаться.

3.

Ковбой Джо приобрел в салуне несколько бутылок Кока-Колы по 40 центов за штуку, несколько сэндвичей по 24 цента и 2 бифштекса. Бармен сказал, что с него 20 долларов 5 центов. Ковбой Джо высказал бармену всё, что он думает о его умении считать. Действительно ли бармен ошибся?

Ответ Решение

Ответ. Да, бармен ошибся.

Решение. Так как цена каждой бутылки Кока-Колы равна чётному числу центов, то стоимость всех купленных ковбоем бутылок также будет равна чётному числу центов. Аналогично стоимость всех купленных сэндвичей равна чётному числу центов. Также и стоимость купленных бифштексов равна чётному числу центов, так как куплено их было два. Поэтому стоимость всего того, что купил Джо, должна выражаться чётным числом центов, так как сумма нескольких чётных чисел равна чётному числу. Но бармен предъявил счёт в 20 долларов 5 центов, что равно 2005 центам. Так как 2005 — нечётное число, то можно сделать вывод, что он ошибся.

4.

Есть девять монет, среди них одна фальшивая. Все настоящие монеты весят одинаково, фальшивая монета весит немного меньше. Как с помощью чашечных весов без стрелок и гирек за два взвешивания гарантированно определить фальшивую монету?

Решение

Решение.
Первое взвешивание: Разделим монеты на три кучки по три монеты. Кладём на первую чашку весов первую кучку, а на вторую чашку — вторую. Если чашки находятся в равновесии, то, значит, на весах фальшивой монеты нет, тогда она в третьей кучке. Если весы не в равновесии, то фальшивая монета в более лёгкой кучке. Таким образом первым взвешиванием мы выделили группу из трёх монет, среди которых находится фальшивая.
Второе взвешивание: Из выделенной кучки одну монету кладём на первую чашку весов, вторую монету — на вторую. Третью монету откладываем. Если весы показывают, что одна из монет легче, то эта монета фальшивая. Если весы находятся в равновесии, то фальшивая третья монета.

5.

Пиноккио посадил денежное дерево, и вместо листьев на нём появлялись каждый день золотые монеты. В первый день на дереве появилась одна монета, во второй день — две, в третий день — три, и так каждый день на нём вырастало монет на одну больше, чем в предыдущий. В ночь с 19-го на 20-й день пришли лиса Алиса и кот Базилио и оборвали все золотые монеты. Сколько монет досталось коварным Алисе и Базилио?

Ответ Решение

Ответ. 190.

Решение. Задача сводится к тому, чтобы посчитать сумму чисел от 1 до 19. Разобьём эти числа на пары: 1 и 19, 2 и 18, 3 и 18 , …, 9 и 11. Ещё число 10 останется без пары. Всего есть 9 пар, сумма чисел в каждой из которых равна 20. Тогда сумма всех чисел равна

20·19	=190
2

6.

Играют двое. Они по очереди выкладывают на круглый стол одинаковые монеты. Класть монеты друг на друга нельзя. Проигрывает тот, кому некуда положить очередную монету. Кто из игроков может гарантированно обеспечить себе победу — начинающий или его соперник? Как он должен играть?

Решение

Решение. Начинающий выиграет, если будет играть следующим образом:
Своим первым ходом он кладёт монету так, чтобы её центр совпал с центром стола. Далее, каждым своим следующим ходом он кладёт монету так, чтобы она была симметрична относительно центра стола той монете, которую положил второй игрок своим последним ходом. Первый всегда может это сделать, так как после каждого его хода расположение монет симметрично относительно центра стола (то есть, если некоторая точка поверхности стола накрыта монетой, то и симметричная ей точка относительно центра стола накрыта, а если она не накрыта монетой, то и симметричная точка не накрыта). Таким образом, если второй смог найти место, чтобы положить монету, то есть точно такой же свободный участок по форме и по площади. Как видим, следуя такой стратегии, начинающий всегда может ответить на ход его соперника своим ходом. Рано или поздно класть монеты будет некуда, но так как первый всегда может сделать ход, то проиграет второй игрок.

7.

На столе лежат монеты. 15 из них — орлом вверх, остальные — орлом вниз. Требуется с завязанными глазами разложить эти монеты на две кучи так, чтобы в этих кучах число монет, лежащих орлом вверх, было одинаково. Количество монет в кучах может быть разным (куча может состоять из любого количества монет, в том числе из одной или еще меньше), монеты можно переворачивать, но определить наощупь, как лежит монета, невозможно.

Указание

Указание. Кладём в одну кучу 15 монет и все их переворачиваем. Тогда сколько решек мы перевернули, столько же орлов осталось в другой куче и мы их не перевернули.