МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 3. Работа не волк (23.10.2004)

Живёт же кот Василий на свете без усилий.

Лариса Миллер

1.

Двое рабочих за два часа разгрузили две машины. Сколько машин разгрузят восемь рабочих за восемь часов?

Ответ Решение

Ответ. 32 машины

Решение. Двое рабочих за 2 часа разгрузили 2 машины. Если дать им в четыре раза больше времени, то они разгрузят в четыре раза больше машин. То есть, двое рабочих за 8 часов разгрузят 2·4=8 машин. Разобьём 8 рабочих на 4 группы по 2 человека. Каждая группа за 8 часов разгрузит 8 машин, а, значит, все 4 группы вместе разгрузят 8·4=32 машины.

2.

Помощник продавца случайно положил перчатки трёх разных размеров в один ящик. Перчаток каждого размера по 20 пар. Какое наименьшее число перчаток нужно вытащить продавцу, чтобы среди них наверняка оказались правая и левая перчатки меньшего размера?

Ответ Решение

Ответ. 101 перчатку

Решение. Если продавец вытащит 101 перчатку, то среди них две перчатки наименьшего размера обязательно найдутся. Это следует из того, что перчаток остальных размеров всего в сумме 80, поэтому среди вытащенных из корзины перчаток будет не менее 21 самого маленького из трёх размеров. А так как и левых, и правых перчаток каждого размера по 20, то среди 21 перчатки меньшего размера есть хотя бы одна левая и хотя бы одна правая, из которых можно составить нужную пару. Если продавец вытащит менее 101 перчатки, то может получиться так, что среди них не будет ни одной левой перчатки меньшего размера, а, значит, необходимой пары составить не получится.

3.

Лошадь съедает копну сена за 2 суток, корова — за 3, овца — за 6 суток. За какое время съедят копну сена лошадь, корова и овца вместе?

Ответ Решение

Ответ. За сутки.

Решение. Лошадь съедает за 2 суток одну копну, поэтому за шесть суток она съест 3 копны. Аналогично, корова за шесть суток съест 2 копны, а овца — 1. Тогда все вместе за шесть суток они съедят 3 + 2 + 1=6 копен, а значит, за одни сутки они съедят 1 копну. А это нам и нужно узнать.

4.

У ювелира есть 27 одинаковых внешне алмазов, но ему достоверно известно, что один из них — подделка, и весит меньше, чем настоящий. Может ли он за три взвешивания на чашечных весах без стрелок и гирек гарантированно определить фальшивый алмаз?

Ответ Указание

Ответ. да, может.

Указание. Разделим алмазы на три кучи по 9 алмазов в каждой. Первый раз взвешиваем любые две из них на разных чашках весов. Если одна из чашек перевешивает, то фальшивый алмаз находится в более лёгкой из этих двух кучек. Если же весы находятся в равновесии, то фальшивый алмаз в третьей куче.
Мы смогли выделить 9 алмазов, среди которых находится фальшивый, и у нас осталось ещё 2 взвешивания.

5.

Одна компания наняла двух братьев копать туннель. Один брат работает быстрее другого, но платят обоим одинаково, учитывая только время. Что выгоднее для компании: чтобы первую половину тоннеля выкопал один брат, а вторую — другой; или, чтобы они начали копать с двух сторон одновременно и копали бы до встречи?

Ответ Решение

Ответ. 2 ситуация выгоднее.

Решение. Пусть братья начнут копать с двух сторон одновременно, но при этом, дойдя до середины туннеля, закончат работу. Тогда тот брат, который работает быстрее, закончит раньше и будет отдыхать. Значит, если он, дойдя до середины, не бросит копать, а будет помогать второму брату, они всю работу сделают быстрее. А значит, компания и платить будет меньше.

6.

Сосуд ёмкостью 12 л наполнен сиропом. Как сироп разделить на две равные части, имея под рукой, кроме двенадцатилитрового, ещё только два сосуда ёмкостью 5 л и 8 л?

Решение

Решение.

№	5л сосуд	8л сосуд	12л сосуд	Переливаем
Было	0	0	12	из 12л в 8л
1	0	8	5	из 8л в 5л
2	5	3	4	из 5л в 12л
3	0	3	9	из 8л в 5л
4	3	0	9	из 12л в 8л
5	3	8	1	из 8л в 5л
6	5	6	1	из 5л в 12л
7	0	6	6

7.

Четыре чёрненьких чумазеньких чертёнка чертили чёрными чернилами чертёж четыре часа. Если бы первый чертёнок чертил вдвое быстрее, а второй — вдвое медленнее, то им потребовалось бы столько же времени; если бы, наоборот, первый чертил вдвое медленнее, а второй — вдвое быстрее, то они управились бы за два часа сорок минут. За какое время начертили бы чертёж первые три чертёнка без помощи четвёртого?

Ответ

Ответ. 4 часа

8.

Имеется три сосуда без делений объемами 4л, 5л и 6л, кран с водой, раковина и 4л сиропа в самом маленьком сосуде. Можно ли с помощью переливаний получить 8л смеси воды с сиропом так, чтобы в каждом сосуде воды и сиропа было поровну?

Ответ

Ответ. Да, можно.