МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 17 (9.04.2005)

1.

Садовый участок имеет форму квадрата размером 12×12 м. В саду растут 15 яблонь. Докажите, что на участке можно выкопать квадратный бассейн размером 3×3 м, не вырубая при этом яблонь. (Размерами деревьев можно пренебречь).

Доказательство

Доказательство. Разобьём участок на 16 квадратов размером 3×3 м. Так как яблонь всего 15, то по крайней мере в одном квадрате яблонь не будет. На этом квадрате можно копать бассейн.

2.

Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых встречаются только чётные цифры?

Решение

Решение. 4 · 54 = 2500. В качестве первой цифры мы можем выбрать любую из четырёх, для каждого из этих вариантов в качестве второй цифры мы можем выбрать любую из пяти, для каждого из этих вариантов мы можем выбрать в качестве третьей цифры любую из пяти, и так далее.

3.

В волейбольном турнире каждая команда сыграла с каждой. При этом 20% команд не выиграли ни одной игры. Сколько команд участвовало в турнире?

Решение

Решение. 5 команд. Количество участников должно быть кратно пяти, так как иначе 20% не будет являться целым числом. Если же было больше пяти команд, то по крайней мере две команды не выиграли ни одной игры. Но тогда они не могли сыграть друг с другом. (Для пяти команд нужно обязательно привести пример!)

4.

Стёпа и Саша играют в такую игру: по очереди ставят слонов на шахматную доску 9×9 так, чтобы они не били друг друга. Начинает Саша. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Решение

Решение. Выигрывает Саша. Первым ходом она ставит слона в центральную клетку, после чего ходит симметрично относительно этой клетки. Сашин слон не может оказаться под боем Стёпиного слона, потому что слоны, стоящие симметрично относительно центральной клетки, находятся на рзных диагоналях (исключение составляют только клетки главных диагоналей, но после первого хода эти клетки уже находятся под боем). Сашин слон не может также оказатья под боем никакого ранее поставленного слона, потому что Стёпин слон, расположенный симметрично, не находится под боем. Таким образом, если Стёпа сумел сделать ход, то и Саша сумеет.

5.

Из квадрата 9×9 вырезали центральную клетку и все угловые. Можно ли оставшуюся фигуру разрезать на фигурки вида ?

Решение:

Решение:. Нет. Раскрасим клетки квадрата в шахматном порядке. Тогда каждая фигурка будет занимать две белых и две чёрных клетки. А оставшаяся фигура содержит 36 белых и 40 чёрных клеток.

6.

Кузнечик прыгает по прямой, причём в первый раз он прыгнул на 1 м в какую-то сторону, во второй раз - на 2 м в какую-то сторону, в третий раз - на 3 м, и так далее. Докажите, что через 2005 прыжков он не сможет оказаться там, где начинал.

Доказательство

Доказательство. Покрасим все точки прямой, расстояние от которых до начальной составляет чётное число метров в синий цвет, а те, до которых нечётное число метров - в красный цвет. Начальная точка - синяя. Тогда после первого прыжка кузнечик окажется в красной точке, после второго - тоже в красной. После третьего прыжка - в синей точке, после четвёртого - тоже в синей. И так далее. Прыжки разобьются на группы по четыре, из них два первых прыжка - по красным точкам, а два последних - по синим. 2004 прыжка - это как раз 501 группа прыжков. Поэтому после 2004 прыжка он окажется в синей точке, а после 2005 - в красной.