МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 5. Солнечный город (20.11.2004)

1.

В Солнечном городе живут 25 коротышек. У каждого из них есть три воздушных шарика: красный, синий и желтый. Смогут ли они так поменяться шариками, чтобы у каждого все три шарика оказались одноцветными?

Ответ Решение

Ответ. Нет, не смогут.

Решение. Шариков каждого цвета по 25.
Если бы коротышки смогли так поменяться, чтобы у каждого из них было три одинаковых шарика, то количество шариков каждого цвета делилось бы на 3. Но 25 на 3 не делится.

2.

В Солнечном городе живут честные коротышки, которые всегда говорят одну только правду, и лукавые коротышки, которые всегда лгут. Встретились несколько коротышек из Солнечного города, и каждый заявил всем остальным: «Вы все — лукавые коротышки». Сколько честных коротышек могло быть среди них?

Ответ Решение

Ответ. Один

Решение. Все коротышки лукавыми быть не могут, так как тогда все они скажут правду, что невозможно. Больше одного честного тоже не может быть, так как тогда честные солгут. А вот ровно один честный коротышка как раз может быть, тогда солгут все лукавые, а он один скажет правду.

3.

Шесть коротышек, три девочки и три мальчика, собирали грибы. Синеглазка набрала больше всех, а Златовласка не меньше всех. Верно ли, что девочки набрали грибов больше, чем мальчики?

Ответ Решение

Ответ. Нет, неверно

Решение. Пусть Синеглазка собрала 5 грибов, Златовласка — 1, третья девочка — 0, а все мальчики — по 4. Тогда девочки собрали 6 грибов, а мальчики — 12.

4.

Кто-то подарил Златовласке подарок, положив его на крыльцо её дома. Златовласка подозревает, что это был один из её друзей: Стрекоза, Огонёк или Ушастик. Но как это узнать? Каждый из них указывает на одного из двух остальных. Правду сказала только Стрекоза. Если бы каждый указывал не на того, на кого он указывал, а на второго, то Ушастик был бы единственным, кто сказал правду. Кто же подарил подарок?

Ответ Решение

Ответ. Огонёк

Решение. Это не могла быть Стрекоза, так как если бы это она подарила подарок, то она указала бы на себя, так как она сказала правду. Из таких же соображений следует, что это не мог быть Ушастик. Значит, это был Огонёк.

5.

Кто-то из троих друзей таким же образом подарил подарок Синеглазке. Причём на вопросы Синеглазки Огонек отвечал, что это сделал Ушастик, а что сказали Ушастик и Стрекоза, Синеглазка забыла. Златовласка взяла дело в свои руки и выяснила, что только один из троих сказал правду, причем именно он и подарил подарок. Кто подарил подарок?

Ответ Решение

Ответ. Стрекоза

Решение. Так как тот, кто подарил подарок, сказал правду, то он должен был указать на себя. Поэтому подарок подарил не Огонёк, так как он указал на Ушастика. Кроме того, отсюда следует, что он сказал неправду. Значит, подарок подарил не Ушастик. Получается, что это была Стрекоза.

6.

У ромашки а) 8; б) 9 лепестков. Играют Синеглазка и Златовласка. За один ход можно оторвать либо один лепесток, либо два рядом растущих лепестка. Начинает Синеглазка. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто из коротышек выиграет при правильной игре? Как она должна играть?

Указание

Указание. а) Если Златовласка будет делать центрально симметричные ходы, то, если есть возможность сделать ход для Синеглазки, то есть и возможность для Златовласки.
б) Если Синеглазка первым ходом сорвала один лепесток, то Златовласка должна сорвать два лепестка с противоположной стороны, и наоборот. Тогда ситуация сведётся к предыдущей.

7.

Какой вопрос должен задать Незнайка коротышке из Солнечного города, чтобы узнать, живут ли с ним в доме одни честные или одни лукавые коротышки?

8.

У Пети имеется шахматная доска, из которой вырезали угловое поле a1. Есть у Пети и фигурки тримино: уголочки из трех клеток. Сможет ли Петя покрыть уголками всю доску?