МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Руководитель Елена Анатольевна Чернышева
2004/2005 учебный год

Занятие 19 (23.04.2005)

1.: Что больше: ²⁰⁰⁴/₂₀₀₅ или ²⁰⁰³/₂₀₀₄?
Решение

Решение. ¹/₂₀₀₅ меньше ¹/₂₀₀₄, а ²⁰⁰⁴/₂₀₀₅=1 − ¹/₂₀₀₅ и ²⁰⁰³/₂₀₀₄=1 − ¹/₂₀₀₄. Понятно, что при вычитании из единицы меньшего числа получится большее число, поэтому ²⁰⁰⁴/₂₀₀₅ больше, чем ²⁰⁰³/₂₀₀₄.
2.: Разрежьте прямоугольник 3×9 на восемь квадратов.
Решение

Решение.
3.: Миша, Антон и Степан решали задачки. Миша сказал: «Я решил больше всех задач». Антон усомнился: «Либо ты решил не больше всех задач, либо Степан меньше всех». Степан сказал: «Я решил больше задач, чем Антон». Кто решил больше всех задач, если прав только один из мальчиков?
Решение Ответ

Решение. Рассмотрим два случая. Если Миша прав, то он первый. Поскольку прав только один, то Степан неправ. Значит, второй – Антон, а Степан – третий. Но тогда утверждение Антона верно. Получаем, что всего было два верных высказывания, что противоречит условию задачи. Значит, этот случай невозможен. Если Миша неправ, то он не первый. Тогда утверждение Антона верно. Получается, что утверждение Степана должно быть неверным. Значит, он, как и Миша, не может быть первым. Тогда Антон – первый. Нетрудно проверить, что эта ситуация удовлетворяет условию задачи.

Ответ. Антон.
4.: В ящике лежат 10 зелёных и 10 оранжевых носков. Половина носков каждого цвета – грязные. Митя собирается в школу в темноте. Какое наименьшее число носков ему необходимо достать, чтобы среди них наверняка оказались два чистых носка одного цвета?
Решение Ответ

Решение. Всего 10 грязных и 10 чистых носков. Поэтому если Митя вытащит меньше 13 носков, то этого количества может не хватить. Так как сначала могут всё время попадаться только грязные носки, а потом (в случае если количество носков, которое мы вытаскиваем равно 11 или 12) зелёный носок, а после (если количество носков равно 12) оранжевый носок. Понятно, что из всего этого чистую одноцветную пару составить не получится. С другой стороны, 13 носков в любом случае хватит. Так как из этих носков не менее 3 гарантированно чистые. А тогда среди чистых носков по принципу Дирихле есть два одного цвета.

Ответ. 13 носков.
5.: Решите ребус: ТИК + ТАК = АКТ.
Решение Ответ

Решение. Заметим, что Т – чётное, так как оно равно последней цифре суммы (К+К). С другой стороны, T<5, так как иначе результат не может быть трёхзначным числом. Таким образом, Т=2 или Т=4. Если Т=2, то К=1 или К=6. В первом случае, нетрудно проверить, что А=5, а И=6. Во втором случае, А=4 (тогда И=1) или А=5 (тогда И не может быть однозначным числом - противоречие). Если Т=4, то К=2 или К=7. В первом случае, А=9, а И=3. А второй случай, как нетрудно проверить, к решению не приводит.

Ответ. 216+246=462, 261+251=512, 432+492=924.
6.: Пятеро по очереди ели торт. Первый съел пятую его часть, второй – четверть остатка, третий – треть нового остатка, четвёртый – половину того, что осталось после третьего, а пятый доел торт до конца. Кто из них съел больше всех?
Решение Ответ

Решение. Первый: съел, осталось. Второй: съел, осталось. Третий: съел, осталось. Четвёртый: съел, осталось. Пятый: съел. Итого, все съели поровну.

Ответ. все съели поровну.
7.: На шахматной доске на клетке a1 стоит ладья. Миша и Антон по очереди двигают ладью на несколько клеток вверх или вправо. Начинает Миша. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?
Ответ Решение

Ответ. выигрывает Антон.

Решение. Если Миша двигает ладью вверх, то Антон своим следующим ходом двигает ладью на столько же клеток вправо. А если Миша двигает ладью вправо, то Антон своим следующим ходом двигает ладью на столько же клеток вверх. Покажем, что эта стратегия приведёт Антона к победе. Нетрудно заметить, что игра заканчивается, когда ладья оказывается в клетке h8. Если Антон будет следовать указанной стратегии, то после каждого его хода ладья будет оказываться на диагонали, соединяющей клетки a1 и h8. Тогда каждым своим следующим ходом Миша будет вынужден уходить с этой диагонали. А значит, после его хода ладья не может оказаться в клетке h8, принадлежащей на этой диагонали. Тогда Антон рано или поздно выиграет в силу конечности игры.
8.: В Циссильвании 2005 жителей. Трое из них вампиры, но мало кому известно, кто именно. Заезжий писатель м-р Стокер попросил каждого жителя назвать двух человек, которые, по его мнению, являются вампирами. Каждый вампир назвал двух других вампиров, а остальные могли назвать кого угодно. Докажите, что, пользуясь данными опроса (и зная, что вампиров в Циссильвании ровно трое), м-р Стокер может выбрать себе проводника, не являющегося вампиром.
Решение

Решение. Известно, что все вампиры указали друг на друга. Значит, они образуют тройку, внутри которой каждый показывает на двух других. Любой житель может входить не более, чем в одну такую тройку. Все жители не могут разбиться на такие тройки, так как их количество не делится на 3. Поэтому найдётся житель, не вошедший в такую тройку. Значит, он не является вампиром. вампиром.


	МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА НАША КОМАНДА О КРУЖКАХ РАСПИСАНИЕ ВОПРОС-ОТВЕТ ЛЕКЦИИ МАТЕРИАЛЫ ЗАНЯТИЙ 5 класс 6 класс 7 класс 8 класс Перечневые олимпиады 2-3 уровень АРХИВ МАЛЫЙ МЕХМАТ — ШКОЛЕ ЛИТЕРАТУРА ССЫЛКИ	Кружок 6 класса Руководитель Елена Анатольевна Чернышева 2004/2005 учебный год Занятие 19 (23.04.2005) 1. Что больше: ²⁰⁰⁴/₂₀₀₅ или ²⁰⁰³/₂₀₀₄? Решение Решение. ¹/₂₀₀₅ меньше ¹/₂₀₀₄, а ²⁰⁰⁴/₂₀₀₅=1 − ¹/₂₀₀₅ и ²⁰⁰³/₂₀₀₄=1 − ¹/₂₀₀₄. Понятно, что при вычитании из единицы меньшего числа получится большее число, поэтому ²⁰⁰⁴/₂₀₀₅ больше, чем ²⁰⁰³/₂₀₀₄. 2. Разрежьте прямоугольник 3×9 на восемь квадратов. Решение Решение. 3. Миша, Антон и Степан решали задачки. Миша сказал: «Я решил больше всех задач». Антон усомнился: «Либо ты решил не больше всех задач, либо Степан меньше всех». Степан сказал: «Я решил больше задач, чем Антон». Кто решил больше всех задач, если прав только один из мальчиков? Решение Ответ Решение. Рассмотрим два случая. Если Миша прав, то он первый. Поскольку прав только один, то Степан неправ. Значит, второй – Антон, а Степан – третий. Но тогда утверждение Антона верно. Получаем, что всего было два верных высказывания, что противоречит условию задачи. Значит, этот случай невозможен. Если Миша неправ, то он не первый. Тогда утверждение Антона верно. Получается, что утверждение Степана должно быть неверным. Значит, он, как и Миша, не может быть первым. Тогда Антон – первый. Нетрудно проверить, что эта ситуация удовлетворяет условию задачи. Ответ. Антон. 4. В ящике лежат 10 зелёных и 10 оранжевых носков. Половина носков каждого цвета – грязные. Митя собирается в школу в темноте. Какое наименьшее число носков ему необходимо достать, чтобы среди них наверняка оказались два чистых носка одного цвета? Решение Ответ Решение. Всего 10 грязных и 10 чистых носков. Поэтому если Митя вытащит меньше 13 носков, то этого количества может не хватить. Так как сначала могут всё время попадаться только грязные носки, а потом (в случае если количество носков, которое мы вытаскиваем равно 11 или 12) зелёный носок, а после (если количество носков равно 12) оранжевый носок. Понятно, что из всего этого чистую одноцветную пару составить не получится. С другой стороны, 13 носков в любом случае хватит. Так как из этих носков не менее 3 гарантированно чистые. А тогда среди чистых носков по принципу Дирихле есть два одного цвета. Ответ. 13 носков. 5. Решите ребус: ТИК + ТАК = АКТ. Решение Ответ Решение. Заметим, что Т – чётное, так как оно равно последней цифре суммы (К+К). С другой стороны, T<5, так как иначе результат не может быть трёхзначным числом. Таким образом, Т=2 или Т=4. Если Т=2, то К=1 или К=6. В первом случае, нетрудно проверить, что А=5, а И=6. Во втором случае, А=4 (тогда И=1) или А=5 (тогда И не может быть однозначным числом - противоречие). Если Т=4, то К=2 или К=7. В первом случае, А=9, а И=3. А второй случай, как нетрудно проверить, к решению не приводит. Ответ. 216+246=462, 261+251=512, 432+492=924. 6. Пятеро по очереди ели торт. Первый съел пятую его часть, второй – четверть остатка, третий – треть нового остатка, четвёртый – половину того, что осталось после третьего, а пятый доел торт до конца. Кто из них съел больше всех? Решение Ответ Решение. Первый: съел, осталось. Второй: съел, осталось. Третий: съел, осталось. Четвёртый: съел, осталось. Пятый: съел. Итого, все съели поровну. Ответ. все съели поровну. 7. На шахматной доске на клетке a1 стоит ладья. Миша и Антон по очереди двигают ладью на несколько клеток вверх или вправо. Начинает Миша. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре? Ответ Решение Ответ. выигрывает Антон. Решение. Если Миша двигает ладью вверх, то Антон своим следующим ходом двигает ладью на столько же клеток вправо. А если Миша двигает ладью вправо, то Антон своим следующим ходом двигает ладью на столько же клеток вверх. Покажем, что эта стратегия приведёт Антона к победе. Нетрудно заметить, что игра заканчивается, когда ладья оказывается в клетке h8. Если Антон будет следовать указанной стратегии, то после каждого его хода ладья будет оказываться на диагонали, соединяющей клетки a1 и h8. Тогда каждым своим следующим ходом Миша будет вынужден уходить с этой диагонали. А значит, после его хода ладья не может оказаться в клетке h8, принадлежащей на этой диагонали. Тогда Антон рано или поздно выиграет в силу конечности игры. 8. В Циссильвании 2005 жителей. Трое из них вампиры, но мало кому известно, кто именно. Заезжий писатель м-р Стокер попросил каждого жителя назвать двух человек, которые, по его мнению, являются вампирами. Каждый вампир назвал двух других вампиров, а остальные могли назвать кого угодно. Докажите, что, пользуясь данными опроса (и зная, что вампиров в Циссильвании ровно трое), м-р Стокер может выбрать себе проводника, не являющегося вампиром. Решение Решение. Известно, что все вампиры указали друг на друга. Значит, они образуют тройку, внутри которой каждый показывает на двух других. Любой житель может входить не более, чем в одну такую тройку. Все жители не могут разбиться на такие тройки, так как их количество не делится на 3. Поэтому найдётся житель, не вошедший в такую тройку. Значит, он не является вампиром. вампиром.	ЗАДАЧИ 6 класс Занятие 0 Занятие 1 Занятие 2 Занятие 3 Регата Занятие 4 Занятие 5 Занятие 6 Занятие 7 Занятие 8 Занятие 9 Занятие 10 Занятие 11 Карусель Занятие 12 Занятие 13 Занятие 17 Занятие 18 Занятие 19