МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 4. Просто задачи (13.11.2004)

1.

Есть 4 монеты достоинством 1, 2, 3 и 5 копеек, которые должны весить 1, 2, 3 и 5 грамм соответственно. Но на самом деле одна из монет фальшивая, и её вес не соответствует её достоинству. Как за два взвешивания на чашечных весах без стрелок и гирек определить фальшивую монету?

Решение

Решение.
Первое взвешивание: 1- и 2-х копеечные монеты кладём на одну чашку весов, 3-х копеечную — на другую.
Второе взвешивание: на одну чашку кладём 2-х и 3-х копеечные монеты, 5-и копеечную — на другую.
Если при первом взвешивании весы находятся в равновесии, а при втором — нет, то это значит, что среди монет достоинством 1, 2 и 3 копейки фальшивых нет, а среди монет достоинством 2, 3 и 5 копеек — есть. Отсюда следует, что фальшивая 5-и копеечная монета.
Если, наоборот, при втором взвешивании весы находятся в равновесии, а при первом — нет, то фальшивая монета среди 1-, 2-х и 3-х копеечных, а среди 2-х, 3-х и 5-и копеечных её нет. Значит, 1-копеечная монета фальшивая.
Если весы не показывают равенства при обоих взвешиваниях, то фальшивая или 2-х копеечная монета, или 3-х копеечная монета, так как в таком случае ненастоящая монета должна была взвешиваться оба раза. Но так как монета, достоинством в 5 копеек, настоящая, то по результатам второго взвешивания мы можем определить, легче или тяжелее настоящей фальшивая монета. А так как при первом взвешивании две монеты, одна из которых фальшивая, находились на разных чашках весов, то по его результату мы можем определить фальшивую монету.
Случай, когда оба взвешивания дают равенство, невозможен.

2.

Кузнечик умеет прыгать вдоль прямой на 6 см и на 8 см (в любую сторону). Сможет ли он попасть в точку, расстояние от которой до исходной равно а) 1,5 см; б) 7 см; в) 4 см?

Ответ Решение

Ответ. а) нет; б) нет; в) да.

Решение.
а) Нет, не сможет, так как после каждого прыжка кузнечик находится от исходной точки на расстоянии, которое выражается целым числом сантиметров.
б) Нет, так как после каждого прыжка кузнечик находится от исходной точки на расстоянии, равном чётному числу сантиметров.
в) Да, сможет. Например, сначала он делает два прыжка на 8 см в одну сторону, а потом два прыжка на 6 см в другую сторону.

3.

В двух кучках лежат конфеты, по 8 конфет в каждой. Играют Аня и Вова. Ход состоит в том, что игрок съедает несколько конфет, но только из какой-либо одной кучки. Начинает Аня. Побеждает тот, кому достанется последняя конфета. Может ли кто-нибудь из игроков играть так, чтобы наверняка выиграть, как бы ни старался другой?

Ответ Решение

Ответ. Да, Вовочка обеспечить себе победу.

Решение. Вовочка должен брать столько же конфет, сколько берёт Аня. Тогда после любого хода Вовы количество конфет в обеих кучках одинаково, а после любого хода Ани неодинаково. Ясно, что когда кто-то из игроков возьмёт последнюю конфету, и в той, и в другой кучке останется по нулю конфет — равное количество. А, значит, если Вова будет придерживаться своей стратегии, то Аня победить не может. Значит, победит Вова.

4.

Аня, Маша, Вова и Петя собирали грибы. Аня собрала больше всех, а Маша — не меньше всех. Верно ли, что девочки собрали грибов больше, чем мальчики?

Ответ Решение

Ответ. Да, верно.

Решение. Маша собрала не меньше всех, значит, или Вова, или Петя собрали грибов не больше, чем Маша. Пусть это будет Петя. Тогда Маша собрала не меньше, чем Петя, а Аня — больше, чем Вова (так как она собрала больше всех). Отсюда следует, что Аня и Маша собрали больше грибов, чем Петя и Вова.

5.

У Пети имеется шахматная доска, из которой вырезали угловое поле a1. Есть у Пети и кости домино размера в две клетки шахматной доски каждая. Сможет ли Петя покрыть доминошками всю доску?

Решение

Решение. Нет, количество клеточек доски нечётно, а каждая доминошка занимает две клетки.

Хулиган Вова отпилил от шахматной доски ещё и поле h8 (см. рис. 1). Сможет ли теперь Петя покрыть доминошками всю доску?

Ответ

Ответ. Да. Для решения достаточно привести пример.

Петя нашёл новую шахматную доску, но Вова отпилил от неё угловые поля a1 и h8 (см. рис. 2). Сможет ли Петя покрыть доминошками эту доску?

Решение

Решение. Нет, не сможет. Каждая доминошка занимает одну черную и одну белую клетку, а на такой доске белых клеток больше, чем чёрных.

6.

В кабинете информатики 9 компьютеров, и некоторые из них соединены проводами между собой. Вовочка утверждает, что от каждого компьютера к другим тянется ровно три провода. Не ошибся ли он при подсчёте?

Ответ Решение

Ответ. Вовочка ошибся.

Решение. Пусть Вовочка прав. Тогда перережем все провода. У каждого компьютера получится по три обрывка, значит, всего 3·9=27 обрывков. Но от каждого провода осталось по два обрывка, значит, всего обрывков должно быть чётное число. Следовательно, Вовочка ошибся.