МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 1. Не думай о секундах свысока...(09.10.2004)

Те часы, которые стоят, лучше тех, что всегда спешат на 1 минуту — ведь они показывают точное время дважды в сутки!

1.

В стране Пунктуальность все люди, у которых есть будильники, встают вовремя. Верно ли, что в этой стране люди, у которых нет будильников, не встают вовремя? Верно ли, что люди, которые не встают вовремя, не имеют будильников?

Ответ Решение

Ответ. первое утверждение неверно, второе — верно.

Решение. Первое утверждение неверно. В условии задачи говорится о людях, о которых есть будильники, и о людях, которые встают вовремя. Там ничего не сказано ни о тех, у кого нет будильников, ни о тех, кто не встаёт вовремя. Поэтому это утверждение из условия задачи мы получить не можем.
Второе утверждение верно. Предположим, что это не так. Тогда в стране Пунктуальность есть человек, который не встаёт вовремя, но при этом у него есть будильник. Но это противоречит условию задачи, в котором сказано, что если у человека есть будильник, то он встаёт вовремя. Значит, наше предположение неверно, и второе утверждение верно.

2.

В 4 часа дня с первого до последнего удара часов прошло 6 секунд. Сколько времени пройдет с первого до последнего удара в полдень?

Ответ Решение

Ответ. 22 секунды.

Решение. В 4 часа часы пробили четыре раза. Значит, между любыми двумя ударами проходит 6:3=2 секунды. (Между 4 ударами часов есть 3 промежутка.) Тогда в 12 часов между первым и последним ударом есть 11 промежутков по 2 секунды, а значит, между ними пройдёт 22 секунды.

3.

На часах, которые ходят точно, оторвались все цифры, и на часах остались только деления без подписей. Как узнать, куда нужно прикрепить цифры на циферблат? (Других часов у Вас нет.)

Решение

Решение. За 12 часов маленькая стрелка проходит полный круг. За это время она несколько раз совпадает с минутной. Но только один раз это происходит, когда точное время составляет целое число часов, то есть когда от нового часа ещё не прошло ни одной минуты. Это происходит в 12 часов. Таким образом, можно узнать какое из отмеченных делений соответствует 12. Остальные цифры нужно прикреплять последовательно по ходу часовой стрелки.

4.

Есть двое песочных часов: на 5 минут и на 8 минут. Как можно с их помощью засечь 7 минут?

Решение

Решение. Одновременно переворачиваем и те, и другие часы. Когда в 5-минутных часах песок полностью пересыплется, перевернём их ещё раз. Через 3 минуты песок полностью пересыплется в 8-минутных часах. В этот момент начинаем отмерять 7 минут. Через две минуты песок пересыплется в 5-минутных часах. Переворачиваем их, и когда он пересыплется там ещё раз пройдёт ровно 2 + 5=7 минут с того момента, как мы стали засекать время.

5.

Чебурашка решил подарить крокодилу Гене на День рождения часы, чемодан и шарф. В магазине «Всё для Ваших друзей» есть часы трёх видов, чемоданы четырёх видов и шарфы пяти видов. Сколькими способами Чебурашка может выбрать для Гены подарок?

Ответ Решение

Ответ. 60 способами.

Решение. Чебурашка может выбрать часы одним из 3 способов. К любым из этих 3 часов он может добавить чемодан 4 способами. То есть, существует 3·4=12 способов выбрать часы и чемодан. К любой паре, состоящей из часов и чемодана, Чебурашка может добавить шарф одним из 5 способов. То есть, существует 3·4·5=60 способов выбрать подарок для Гены.

6.

Разрежьте циферблат на две части так, чтобы а) сумма чисел в каждой части была одинаковой; б) сумма цифр в каждой части была одинаковой.

Решение

Решение. а)
б) Такого разрезания не существует.
Сумма всех цифр, составляющих все числа циферблата, равна (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) + 1 + 2 + 3=51 — число, не делящееся на 2. Но если такое разрезание было бы возможно, то эта сумма делилась бы на 2, так как была бы равна удвоенной сумме цифр, находящихся в одной из полученных частей.

7.

Петин будильник испорчен: он спешит на 4 минуты в час. В 7 часов вечера Петя установил на нем точное время и еще поставил звонок на 7 часов утра. Во сколько Петя проснётся?

Ответ Решение

Ответ. В 6 часов 15 минут.

Решение. Пусть у нас есть правильные часы и такие же часы, как у Пети. Будем отмерять время и по тем, и по другим. Если с 7 часов вечера до того момента, когда зазвенел будильник, пройдёт x часов (или 60x минут), если отмерять по правильным часам, то по Петиным часам пройдёт 64x минут. Так как будильник зазвенит, когда Петины часы будут показывать 7 часов утра, то по этим часам с 7 вечера прошло 12·60 минут. То есть, 64x=12·60. Тогда

x=	12·60	=	45
	64		4

Значит, от 7 часов вечера до того момента, когда зазвенит будильник, пройдёт ⁴⁵/₄ часа или 11 часов 15 минут. Легко посчитать, что будильник зазвенит в 6 часов 15 минут.