МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководители Сергей Александрович Дориченко и Степан Львович Кузнецов
2008/2009 учебный год

Занятие 8

1.
Может ли быть так, что ни одно из данных двух целых чисел не делится на 6, а произведение этих чисел делится на 36?

Ответ Решение

Решение. 36=9·4.
2.
Ковбой Джо попросил в баре бутылку виски за 3 доллара, трубку за 6 долларов, 3 пачки табаку и 9 коробок спичек (их цену он не знал). Бармен потребовал 11 долларов 80 центов, на что Джо вытащил револьвер. Бармен пересчитал и исправил ошибку. Как Джо понял, что его обсчитали?

Решение

Решение. Сумма (в центах) должна делиться на 3.
3.
а)
В некоторой стране 15 городов. Возможно ли, что из каждого города выходит ровно по 3 дороги (каждая дорога соединяет один город с другим, развилок нет)?

Ответ Решение

Ответ. Нет.
Решение. Нет: иначе общее число дорог должно быть равно 15·3/2 (делим пополам, т.к. каждую дорогу мы посчитали 2 раза), а это число нецелое.
б)
А если городов 16?

Ответ Решение

Решение. Да, например так: страна разбита на 4 области, в каждой области каждый город соединён с каждым дорогой, а между областями дорог нет.
4.
В некотором государстве каждый город соединен с каждым дорогой. Сумасшедший король хочет ввести на дорогах одностороннее движение так, чтобы, выехав из любого города, в него нельзя было вернуться. Можно ли так сделать? (Возможно, что после этого из некоторых городов будет вообще нельзя выехать.)

Ответ Решение

Ответ. Можно.
Решение. Занумеруем все города и установим на каждой дороге движение из города с меньшим номером в город с большим номером.
5.
Разрежьте уголок (см. рисунок) на 4 таких же уголка меньшего размера.

Решение

6.
Один из попугаев А, В и С всегда говорит правду, другой всегда врёт, а третий хитрец — иногда говорит правду, иногда врёт. На вопрос «Кто В?» они ответили:
А: Лжец.
В: Я хитрец!
С: Абсолютно честный попугай.
Кто из попугаев лжец, а кто хитрец?

Ответ Решение

Ответ. A — честный попугай, B — лжец, C — хитрец.
Решение. Рассмотрим три случая:
1. B честный. Но тогда он не будет лгать про себя, говоря, что он хитрец.
2. B хитрец. Тогда и A, и C лгут, что невозможно, потому что один из них всегда говорит правду.
3. B лжец. Этот случай подходит: тогда A — правдивый попугай, а C — хитрец.
7.
Существуют ли целые числа x, y и z, удовлетворяющие уравнению 28x + 30y + 31z=365?

Ответ Подсказка Решение

Ответ. Существуют.
Подсказка. Вспомните календарь.
Решение. Да, например x=1, y=4, z=7.
8.
а)
Докажите, что произведение двух подряд идущих целых чисел чётно.

Решение

Решение. Два нечётных числа не могут идти подряд. Значит, одно из чисел чётно, а потому произведение тоже чётно.
б)
Докажите, что произведение трёх подряд идущих целых чисел делится на 6.

Решение

Решение. Среди любых трёх чисел есть хотя бы одно чётное и хотя бы одно кратное трём.
9.
Докажите, что из любых 15 целых чисел можно выбрать два, разность которых делится на 14.

Решение

Решение. Всевозможных остатков при делении на 14 всего 14, а чисел 15. По принципу Дирихле у двух из них остатки одинаковы. Значит, их разность делится на 14.
10.
Чему равна последняя цифра
а)
числа 2100?

Ответ Указание

Указание. Рассмотрите последние цифры чисел вида 2k — они повторяются.
б)
числа 20092008?

Ответ

11.
Ни одно из 20 данных целых чисел не делится на 5. Докажите, что сумма четвёртых степеней этих чисел делится на 5.

Решение

Решение. Пусть даны числа a1, …, a20. Рассмотрев всевозможные остатки при делении ai на 5 (кроме 0 — это запрещено условием), получим, что ai4 всегда даёт остаток 1. Значит, сумма 20 таких чисел даст тот же остаток, что и 20·1, т.е. 0.

Дополнительные задачи

12.
Раскраска географической карты называется правильной, если любые два соседних государства раскрашены в разные цвета. (Страны, не имеющие общего участка границы, могут быть окрашены в один цвет.)
а)
Верно, что для раскраски любой карты достаточно трёх цветов?
б)
А хватит ли трёх цветов, если все страны имеют форму треугольников?
13.
Докажите, что число 111...111 (81 единица) делится на 81.
14.
Однажды на стpойку завезли киpпичи. Как строителям, незнакомым с извлечением корней, с помощью рулетки найти длину главной диагонали кирпича?
15.
Среди невиданных зверей, оставивших следы на неведомых дорожках, было стадо одноглавых тридцатичетырёхножек и трёхголовых драконов. Всего в стаде 286 ног и 31 голова. Сколько ног у дракона?
16.
Длина линейки равна 13 см. Какое наименьшее число делений необходимо поставить, чтобы можно было за одно прикладывание линейки отмерить любой из отрезков 1, 2, ..., 12 см?
17.
Петя и Витя ехали вниз по эскалатору. Посередине эскалатора хулиган Витя сорвал с Пети шапку и бросил её на встречный эскалатор. Пострадавший Петя побежал обратно вверх по эскалатору, чтобы затем спуститься вниз и вернуть шапку. Хитрый Витя побежал по эскалатору вниз, чтобы затем подняться вверх и успеть раньше Пети. Кто успеет раньше, если скорости ребят относительно эскалатора постоянны и не зависят от направления движения?