МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 2

1.

Перед вами последовательность фигурок. В первой фигурке одна клетка. Сколько клеток в сотой фигурке? А сколько клеток в первых ста фигурках вместе?

Ответ Решение

Ответ. 199; 10000.

Решение. В первой фигурке — одна клетка, а в каждой следующей — на две больше. Получаем ряд нечетных чисел: 1, 3, 5, ... Чтобы дойти до сотой фигурки, надо прибавить к одной клетке по 2 клетки 99 раз, значит в сотой фигурке будет 1 + 2·99=199 клеток.

Теперь заметим, что из первых двух фигурок легко сложить квадрат 2×2, полученный квадрат вместе с третьей фигуркой складываются в квадрат 3×3, и так далее (см. рисунок). Значит из первых 100 фигурок можно сложить квадрат 100×100, откуда в первых 100 фигурках вместе 10000 клеток.

2.

Все стороны четырехугольника одинаковы. Обязательно ли и все его углы одинаковы?

Ответ

Ответ. Нет.

3.

Кузнечик умеет прыгать вдоль прямой на 6 см и на 8 см (в любую сторону). Сможет ли он попасть в точку, расстояние от которой до исходной равно а) 1,5 см; б) 7 см; в) 4 см?

4.

Десять гномов играли в шашки. Каждый сыграл с каждым по партии.

а)

Сколько партий сыграл каждый гном?

б)

Сколько всего было сыграно партий?

5.

Картонный прямоугольник площади 1 разрезали на две части по отрезку, соединяющему середины его двух соседних сторон. Найдите площади этих частей.

6.

Когда Петя разбил свою копилку, в ней было меньше 100 монет. Петя разложил их на кучки по 2 монеты, но одна осталась лишней. Тогда Петя разложил их на кучки по 3 монеты, и снова одна осталась лишней. То же произошло, когда Петя разложил их на кучки по 4 монеты, и когда — по 5. Сколько монет было в копилке?

7.

Окна в вагонах метро имеют форму, изображённую на рисунке. Закругления верхних углов рамы и стекла сделаны в виде дуги окружности. Окно приоткрыли, сдвинув стекло на 10 см. Высота подвижной части окна равна 25 см. Найдите площадь открытой части окна.

Дополнительные задачи

8.

Вадим и Лёша спускались с горы. Вадим шел пешком, а Лёша съезжал на лыжах в семь раз быстрее Вадима. На полпути Лёша упал, сломал лыжи и пошел в два раза медленней Вадима. Кто первым спустится с горы?

9.

Муравей сидит в вершине деревянного куба. Он хочет, двигаясь по поверхности куба, переползти в противоположную вершину по кратчайшему пути. Как ему это сделать?

10.

Имеется два дома, в каждом по два подъезда. Жильцы держат кошек и собак, причём доля кошек (отношение числа кошек к общему числу кошек и собак) в первом подъезде первого дома больше, чем доля кошек в первом подъезде второго дома, а доля кошек во втором подъезде первого дома больше, чем доля кошек во втором подъезде второго дома. Верно ли, что доля кошек в первом доме больше доли кошек во втором доме?

11.

Гроссмейстер (старший мастер) Остап Бендер провёл сеанс одновременной игры с гроссмейстерами Каспаровым и Крамником. С одним из соперников он играл белыми фигурами, с другим чёрными. Бендер играл в шахматы третий раз в жизни. Несмотря на это, ему удалось взять в этом сеансе одно очко. Как он смог этого добиться? (В шахматной партии за победу даётся 1 очко, за ничью пол-очка, за поражение 0 очков.)