МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководители Сергей Александрович Дориченко и Степан Львович Кузнецов
2008/2009 учебный год

Занятие 3

1.
После семи стирок и длина, и ширина, и высота куска мыла уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска?
2.
В классе 20 учеников. Во время диктанта один ученик сделал 9 ошибок, а остальные — меньше. Обязательно ли найдутся а) 2; б) 3; в) 4 ученика, сделавшие одинаковое число ошибок?
3.
Докажите, что
а)
среди любых трех целых чисел найдутся два числа, разность которых делится на 2;
б)
среди любых 11 целых чисел найдутся два числа, разность которых делится на 10.
4.
Внутри прямоугольного ковра 4×4 моль проела 15 точечных дырок. Всегда ли можно вырезать коврик размерами 1×1, на котором нет дырок (на краю дырки могут быть)?
5.
а) Есть две кучи по 9 камней. Двое по очереди берут камни (за ход можно взять любое число камней, но лишь из одной какой-то кучи). Проигрывает тот, кому нечего брать. Кто из игроков (начинающий или его противник) может всегда побеждать, и как ему играть? б) А если есть три кучи по 9 камней? в) А если четыре кучи? г) А если кучи две, в одной 9 камней, а в другой 11?
5'.
а) Есть две кучи по 20 камней. Двое по очереди берут камни (за ход можно взять любое число камней, но лишь из одной какой-то кучи). Проигрывает тот, кому нечего брать. Кто из игроков (начинающий или его противник) может всегда побеждать, и как ему играть? б) А если есть три кучи по 20 камней? в) А если есть четыре кучи по 20 камней? г) А если кучи две, в одной 27 камней, а в другой 36?
6.
Двое играют в упрощенный морской бой. В таблице размером 4×4 клетки расположен один корабль размером 1×3 клетки. а) Приведите пример залпа из пяти снарядов, который обязательно заденет корабль, где бы он ни располагался. б) Найдётся ли аналогичный залп из четырёх снарядов? в) А сколько надо выстрелов, чтобы наверняка ранить корабль размером 1×4 клетки, расположенный в квадрате 7×7?
7.
Для поправки здоровья богатырю надо отпить из молочной реки ровно 43 литра. У богатыря есть два ведра в 24 и 11 литров и огромная бочка. Сможет ли он поправить свое здоровье?
8.
Докажите, что среди 82 кубиков, каждый из которых окрашен в определенный цвет, всегда можно выбрать 10 кубиков, которые будут либо все окрашены в разные цвета, либо все одного цвета.
9.
Разрежьте какой-нибудь треугольник а) на 3; б) на 4; в) на 5 равных треугольников.
10.
На шарообразной планете Зямлям более половины поверхности занимает суша. Докажите, что можно прорыть прямой туннель, проходящий через центр планеты и соединяющий сушу с сушей.
11.
В школе 33 класса и 1100 учеников. Докажите, что:
а)
есть класс, в котором не менее 34 учеников;
б)
в этом классе есть 2 ученика, у которых день рождения приходится на одно и то же число (не обязательно одного месяца);
в)
в один из дней года отмечают день рождения не менее 4 учеников школы.
12.
Внутри равностороннего треугольника со стороной 2 см расположены 5 точек. Докажите, что какие-то две из них находятся на расстоянии не более 1 см друг от друга.
13.
Докажите, что среди учеников любого класса найдутся двое, имеющие одинаковое число друзей в этом классе (если, конечно, в этом классе не менее двух учеников).
14.
Куб 3×3×3 нужно разрезать на 27 кубиков 1×1×1. Каким наименьшим числом прямых разрезов можно обойтись, если после каждого разреза разрешено перекладывать разрезанные части?