МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 12

1.

Две телеги едут навстречу друг другу, одна — со скоростью 10 км/ч, а другая — со скоростью 15 км/ч. Когда между телегами было 50 км, с первой телеги слетела муха и полетела ко второй телеге. Долетев, она развернулась, долетела до первой телеги, снова развернулась и т.д. Какое расстояние пролетит муха до встречи телег, если ее скорость равна 20 км/ч?

2.

а)

Можно ли написать в строчку 5 чисел так, чтобы сумма любых трёх подряд идущих чисел была больше нуля, а сумма всех чисел — меньше нуля?

б)

Тот же вопрос про 6 чисел.

3.

а)

Идёт Петя, а навстречу ему пять человек. Докажите, что среди них найдутся либо три человека, знакомых с Петей, либо три человека, незнакомых с Петей.

б)

Докажите, что в любой компании из шести человек найдутся либо три попарно знакомых, либо три попарно незнакомых человека.

4.

На дороге, соединяющей два аула, нет горизонтальных участков. Автобус идёт в гору всегда со скоростью 15 км/ч, а под гору — 30 км/ч. Найдите расстояние между аулами, если путь туда и обратно автобус проезжает за 4 часа.

5.

Можно ли нарисовать такой многоугольник и точку внутри него, что ни одна из его сторон не будет видна из этой точки целиком?

6.

Фигура «верблюд» ходит по шахматной доске ходами типа (1,3) (то есть сдвигается сначала на соседнее (по стороне) поле, а затем сдвигается ещё на 3 поля в перпендикулярном направлении; на рисунке показан пример хода). Сможет ли «верблюд», сделав несколько ходов, попасть с какого-то исходного поля на соседнее с ним (по стороне)?

7.

Города А и Б находятся на реке в 10 км друг от друга. На что у парохода уйдёт больше времени: проплыть от А до Б и обратно или проплыть 20 км по озеру?

8.

Есть 20 шариков, склеенных так, что получилось две «цепочки» по 4 шарика в каждой и два «прямоугольника» 2×3 из 6 шариков (см. рисунок). Как сложить эти 4 набора, чтобы получилась составленная из шариков объёмная треугольная пирамида?