МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 18

1.

В мешке лежат 50 чёрных и 50 белых шариков. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую так, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?

2.

Альпинист стоит на вершине отвесной скалы высотой 100 м с уступом на высоте 50 м. У него есть 77-метровая верёвка и нож. На вершине скалы и на уступе вбиты колышки, к которым можно привязать верёвку. Как альпинисту спуститься со скалы (разумеется, не прыгая)?

3.

В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок; яблоки в каждом ящике — одного сорта. Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного сорта.

4.

Улитка двигалась таким образом, что за каждый промежуток времени в одну минуту она проползала один метр. Следует ли отсюда, что она двигалась равномерно?

5.

Докажите, что n² + 1 не делится на 3 ни при каком натуральном n.

6.

Числа от 1 до 20 выписаны в строчку. Паша и Ваня по очереди расставляют между ними знаки + и − по своему усмотрению. Паша начинает. После заполнения всех мест подсчитывается результат. Если он чётен, то выигрывает Паша, если нечётен, то Ваня. Кто выиграет?

7.

Двое по очереди ставят а) ладей, б) слонов на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре и как он должен играть?

8.

Дана клетчатая доска 10×10. Играют двое, за ход разрешается положить на любые две соседние клетки доминошку так, чтобы доминошки не перекрывались. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре и как он должен играть?

9.

а)

На столе лежит 31 камень. Двое играющих по очереди берут один или два камня. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?

б)

На доске написано число 1. Два игрока по очереди прибавляют любое число от 1 до 5 к числу на доске и записывают вместо него получившуюся сумму. Выигрывает игрок, который запишет на доске число 30. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?

10.

У четырёх братьев было 45 рублей. Второй отдал 2 рубля первому, деньги третьего увеличились вдвое, а деньги четвёртого — уменьшились вдвое, и у всех оказалось поровну. Сколько было у каждого в начале?

Дополнительные задачи

11.

На сто рублей (ровно) необходимо купить 40 почтовых марок: рублёвых, 4-рублёвых, 12-рублёвых. Сколько каких марок окажется?

12.

Докажите, что для любого натурального числа a, большего 1, число a⁴ + 4 составное.

13.

Имеются 70 настоящих и 259 фальшивых монет. Известно, что настоящие весят целое число грамм, а фальшивые отличаются от настоящих ровно на 1 грамм в ту или иную сторону. Как с помощью одного взвешивания на точных весах (весах, показывающих массу взвешиваемого в граммах) определить про данную монету, фальшивая она или настоящая?