МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 6

1.

Что больше — ²⁰⁰⁷/₂₀₀₈ или ²⁰⁰⁸/₂₀₀₉?

2.

Верно ли, что любая сторона треугольника больше разности двух других его сторон?

3.

Можно ли, имея лишь два сосуда ёмкостью 3 л и 5 л, набрать из крана 4 л воды?

4.

а)

Можно ли нарисовать четырехугольник с такими длинами сторон: 9 см, 3 см, 4 см, 2 см?

б)

Можно ли из любых пяти палочек сложить пятиугольник?

5.

Дома Пятачка, Иа и Пуха соединены прямыми дорожками (образуя треугольник). Делая зарядку, Пятачок пробежал от своего дома к дому Иа, затем — к дому Пуха и вернулся домой. В это время Пух в задумчивости прошёл от своего дома к дому Иа и обратно. Чей путь был длиннее?

Ответ Решение

Ответ. Путь Пятачка.

Решение. Пусть W — дом Винни-Пуха, P — дом Пятачка, E — дом ослика Иа. Тогда Пятачок прошел путь длиной PE + EW + WP, а Винни-Пух — 2EW. Путь Пятачка длиннее, так как PE + WP > EW (по неравенству треугольника).

6.

Ежедневно в полдень из Гавра в Нью-Йорк отправляется почтовый пароход, и в это же время из Нью-Йорка отходит идущий в Гавр пароход той же компании. Каждый из пароходов находится в пути ровно 7 суток, и идут они по одному и тому же пути. Сколько пароходов своей компании встретит на своём пути пароход, идущий из Гавра в Нью-Йорк?

Ответ 1-е решение 2-е решение 3-е решение

Ответ. 13; если учитывать встречи в портах, то 15.

1-е решение. Посмотрим, какие пароходы встретит на своем пути выходящий из Гавра пароход. Во-первых, это 6 пароходов, которые уже плывут в Гавр (один вышел 6 суток назад, другой — 5 суток назад, и т.д., последний плывущий вышел сутки назад). Во-вторых, за ближайшие 7 суток пути еще 7 пароходов успеют выплыть из Нью-Йорка навстречу нашему пароходу (один выходит одновременно с нашим, другой — спустя сутки, и т.д., последний выплывет за сутки до прибытия нашего парохода в Нью-Йорк). Итого получаем 13 пароходов. (Если учитывать встречи в портах, ответ будет на 2 парохода больше: один наш пароход встретит при выходе из Гавра, а второй — при заходе в Нью-Йорк).

2-е решение. Разделим путь из Гавра в Нью-Йорк на 7 равных отрезков (пароход проходит такой отрезок за сутки). Пароходы выходят из портов каждые сутки с одинаковой скоростью, сближаются они с удвоенной скоростью и поэтому будут встречаться каждые 12 часов: в концах и в серединах наших отрезков. Если не считать порты, получаем 5 концов отрезков и еще 6 середин, итого 13 мест, где будут происходить встречи.

3-е решение. Будем считать, что пароходы, плывущие в Гавр, на самом деле выплывают не из Нью-Йорка, а из другого города (скажем, из Лондона), расположенного в семи днях пути от Нью-Йорка (а Нью-Йорк --- промежуточный город на пути этих кораблей). Так как пароходы выходят из Лондона каждые сутки, то в момент отправления парохода из Гавра навстречу ему в пути находятся 13 кораблей (если не считать уже заплывающего в Гавр парохода и только выплывающего из Лондона корабля). Эти пароходы и встретит наш корабль на своём пути из Гавра в Нью-Йорк. (Если встречи в портах тоже учитывать, получим 15 кораблей).

7.

От Клина до Москвы — 90 км, от Клина до Солнечногорска — 24 км, от Солнечногорска до Зеленограда — 36 км, от Зеленограда до Москвы — 30 км. Только по этим данным найдите расстояние от Солнечногорска до Москвы.

8.

Есть шоколадка размером 6×8 плиток. Играют двое. За один ход игрок разламывает один из имеющихся кусочков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?

9.

Над цепью озёр летела стая гусей. На каждом озере садилась половина гусей и ещё полгуся, а остальные летели дальше. Все гуси сели на семи озёрах. Сколько гусей было в стае?

10.

У равнобедренного треугольника одна сторона равна 3 см, другая — 7 см. Найдите длину третьей стороны.

11.

Дан лист клетчатой бумаги. Как с помощью карандаша и линейки нарисовать квадрат, площадь которого а) в 2 раза; б) в 5 раз больше площади одной клетки?

12.

В треугольнике длины двух сторон равны 17 и 4. Найдите третью, если известно, что её длина делится на 6.

13.

Что больше — сумма длин сторон 4-угольника или сумма длин его диагоналей?

14.

Найдите внутри выпуклого 4-угольника точку, такую, что сумма расстояний от неё до вершин минимальна.

15.

а)

Расставьте 7 звёздочек в таблице 4× 4 так, чтобы при вычёркивании любых двух строк и любых двух столбцов оставалась невычеркнутой хотя бы одна звёздочка.

б)

Докажите, что 6 звёздочек так расставить нельзя.

16.

Прямолинейный прут длиной 2 м разрезали на пять кусков, длиной не менее 17 см каждый. Докажите, что среди этих кусков найдутся три, из которых можно собрать треугольник.

Дополнительные задачи

17.

Имеется 6 отрезков, длины которых целые, 2 самых коротких имеют длину 1 см, самый длинный — 7 см. Докажите, что среди них найдутся три отрезка, из которых можно составить треугольник.

18.

Посёлки А и Б расположены а) по разные стороны; б) по одну сторону от прямой дороги. Где на дороге надо устроить автобусную остановку, чтобы сумма расстояний от неё до посёлков А и Б была наименьшей?

19.

Плоскость раскрашена а) в два, б) в три цвета. Докажите, что можно найти две точки одного цвета, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга.

20.

Докажите, что в выпуклом пятиугольнике найдутся три диагонали, из которых можно составить треугольник.

21.

Плоскость разбита прямыми на несколько частей. Всегда ли эти части можно раскрасить в два цвета так, чтобы части, имеющие общую границу (отрезок), были раскрашены в разные цвета?