МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 15

1.

В пруду растёт ряска, и ежедневно каждое растение делится пополам. Пруд зарос за неделю. В какой момент времени четверть пруда была покрыта ряской?

2.

У меня есть двое электронных часов (время показывают цифрами) — наручные и настенные, идут они всегда правильно. Стоя у зеркала, я взглянул на наручные часы — было 12:05. Я перевёл взгляд на зеркало: в нем отражались и наручные, и настенные часы, но показывали они в зеркале разное время и ни одно не совпадало с реальным. Как такое могло быть?

3.

Как разрубить подкову двумя прямолинейными ударами топора на шесть частей (после первого удара перекладывать части нельзя)?

4.

Петя и Витя ехали вниз по эскалатору. Посередине эскалатора хулиган Витя сорвал с Пети шапку и бросил её на встречный эскалатор. Пострадавший Петя побежал обратно вверх по эскалатору, чтобы затем спуститься вниз и вернуть шапку. Хитрый Витя побежал по эскалатору вниз, чтобы затем подняться вверх и успеть раньше Пети. Кто успеет раньше, если скорости ребят относительно эскалатора постоянны и не зависят от направления движения?

5.

Можно ли покрыть доминошками (1×2) доску 8×8, у которой выпилили а) левое верхнее поле; б) левое верхнее и правое верхнее поля; в) левое верхнее и правое нижнее поля?

6.

Катя и её друзья встали в круг. Оказалось, что у каждого оба соседа --- одного пола. Мальчиков среди Катиных друзей 5. Сколько девочек?

7.

На доске 25×25 расставлены 25 шашек, причём их расположение симметрично относительно диагонали. Докажите, что хотя бы одна из шашек стоит на диагонали.

8.

a + 1 делится на 3. Докажите, что 7a + 4 тоже делится на 3.

9.

Может ли n! оканчиваться ровно 5 нулями? (n! = 1·2·3·...·n — факториал числа n.)

10.

К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы чётна.