МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 14

1.

Слава взял у товарища книгу на 3 дня. В первый день он прочитал половину книги, во второй день — треть оставшихся страниц, а количество страниц, прочитанных в третий день, оказалось равно половине числа страниц, прочитанных в первые два дня. Успел ли Слава прочитать книгу?

2.

Семиклассник Сёма на контрольной по алгебре запутался в свойствах степеней и написал формулу 2^m + 2ⁿ = 2^mn. Чтобы себя проверить, он стал подставлять в неё числа и с ужасом обнаружил, что формула неверна! Существуют ли вообще натуральные числа m и n, для которых «формула» Сёмы выполняется?

3.

На доске записаны числа 1, 2, ..., 10. Разрешается стереть любые два числа a и b и написать вместо них одно число a + b − 1.

а)

Сколько раз нужно проделать такую операцию, чтобы на доске осталось одно число?

б)

Можно ли наверняка сказать, какое это будет число?

4.

В два сосуда налили по 1 л воды. Из первого перелили половину имеющейся в нём воды во второй, затем из второго перелили треть имеющейся в нём воды в первый, затем из первого перелили четверть имеющейся в нём воды во второй и т.д. Сколько воды было в каждом из сосудов после 100 переливаний?

5.

Группа островов соединена мостами так, что от каждого острова можно добраться до любого другого. Турист обошёл все острова, пройдя по каждому мосту ровно один раз. На острове Светлом он побывал трижды. Сколько мостов ведёт со Светлого, если турист а) не с него начал и не на нём закончил? б) с него начал, но не на нём закончил? в) с него начал и на нём закончил?

6.

Кассир считает деньги так: сначала он считает, сколько всего купюр (независимо от их достоинства), потом прибавляет число купюр достоинством больше рубля, затем прибавляет число купюр достоинством больше двух рублей, и так далее. Достоинство каждой купюры выражается целым числом рублей. Почему у него получается верный ответ?

7.

В стране 15 городов, каждый соединён дорогами не менее, чем с 7 другими. Докажите, что из любого города можно проехать в любой другой напрямую или через один промежуточный город.

8.

Пятиклассник Петя нарисовал 5 рисунков. На каждом рисунке он изобразил несколько прямых и отметил все их точки пересечения друг с другом. В результате на первом рисунке он отметил всего 1 точку, на втором — 2, на третьем — 3, на четвертом — 4 и на пятом — 5. а) Приведите примеры таких рисунков. б) Про какие из Петиных рисунков можно наверняка сказать, сколько на них проведено прямых?

Дополнительные задачи

9.

Можно ли замостить всю плоскость квадратами, среди которых всего два одинаковых?

10.

Имеются два трёхлитровых сосуда. В одном — 1 л воды, в другом — 1 л двухпроцентного раствора поваренной соли. Разрешается переливать любую часть жидкости из одного сосуда в другой, после чего перемешивать. Можно ли за несколько таких переливаний получить полуторапроцентный раствор в том сосуде, в котором вначале была вода?

11.

Волейбольная сетка имеет вид прямоугольника размером 50×600 клеток. Какое наибольшее число верёвочек можно перерезать так, чтобы сетка не распалась на куски?