МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 16

1.

Из прямоугольников размером 1×5 клеток составили прямоугольник. Докажите, что хотя бы одна из длин его сторон кратна 5.

2.

Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки на расстоянии 1, покрашенные в один цвет.

3.

Мама дала Васе денег на 30 карандашей. Оказалось, что в магазине карандашная фабрика проводит рекламную акцию: в обмен на чек о покупке набора из 20 карандашей возвращают 25% стоимости набора, а в обмен на чек о покупке набора из 5 карандашей — 10%. Какое наибольшее число карандашей может купить Вася?

4.

Несколько ящиков вместе весят 10 т, причем каждый из них весит не более 1 т. Какого наименьшего количества трехтонных грузовиков наверняка хватит, чтобы увезти этот груз?

5.

На окружности расставлены 20 точек. За ход разрешается соединить любые две из них отрезком, который не пересекает отрезки, проведённые ранее. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре и как он должен играть?

6.

а) Можно ли разрезать шахматную доску с вырезанной угловой клеткой на прямоугольники размером 1×3 клетки? б) А на «уголки» из трёх клеток?

7.

Кусок сыра имеет форму кубика 3×3×3, из которого вырезан центральный кубик. Мышь начинает грызть этот кусок сыра. Сначала она съедает некоторый кубик 1×1×1. После того, как мышь съедает очередной кубик 1×1×1, она приступает к съедению одного из соседних (по грани) кубиков с только что съеденным. Сможет ли мышь съесть весь кусок сыра?

8.

Дно прямоугольной коробки выложено плитками 2×2 и 1×4. Плитки высыпали из коробки и потеряли одну плитку 2×2. Вместо неё приобрели плитку 1×4. Докажите, что теперь выложить дно коробки не удастся.

9.

На поле стояли 777 гангстеров, и все они находились на попарно различных расстояниях друг от друга. Гангстеры одновременно выхватили пистолеты и каждый выстрелил в ближайшего. Докажите, что хотя бы в одного гангстера никто не стрелял.

Дополнительные задачи

10.

Отметьте на доске 8×8 несколько клеток так, чтобы любая (в том числе и любая отмеченная) клетка граничила по стороне ровно с одной отмеченной клеткой.

11.

На доске написаны числа от 1 до 2009. За один ход Петя стирает два любых числа, вычисляет их сумму и записывает на доске последнюю цифру получившегося результата до тех пор, пока на доске не останется одно число. Какое число может получиться у Пети?

12.

Объясните, как покрасить часть точек плоскости так, чтобы на любой окружности радиуса 1 было ровно четыре покрашенные точки.