МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 1

1.

Наполненный доверху водой сосуд весит 5 кг, а наполненный наполовину — 3 кг 250 г. Сколько весит пустой сосуд?

Ответ Решение

Ответ. 3 кг 500 г

Решение. Если мы из 5 кг вычтем 3 кг 250 г, то получим вес половины воды, вмещаемой сосудом, это 1 кг 750 г. Всего сосуд вмещает в два раза больше воды, то есть 3 кг 500 г.

2.

Что больше: 333333·444444 или 222222·666667? На сколько?

Ответ Решение

Ответ. Второе число на 222222 больше первого.

Решение. Сравним сначала числа 333333·444444 и 222222·666666. Они одинаковы: первое число равно 3·111111·4·111111, второе равно 2·111111·6·111111, а 3·4=2·6=12. Решим теперь исходную задачу. Число 222222·666667 равно 222222·(666666 + 1)=222222·666666 + 222222, и значит на 222222 больше числа 333333·444444.

3.

В треугольнике ABC угол B прямой, AB=BC=1. На стороне AC взяли точку и нашли сумму расстояний от неё до сторон AB и BC. Можно ли наверняка сказать, какое получилось число?

Ответ Решение

Ответ. Всегда получится 1.

Решение.

Обозначим точку на стороне AC буквой M. Расстояние от точки M до AB — это длина перпендикуляра, опущенного из M на AB, обозначим его MX. Заметим, что треугольник MXA — тоже равнобедренный (найдите его углы), то есть MX=AX. Но расстояние от M до прямой BC такое же, как и от X до прямой BC (так как прямые MX и BC параллельны), то есть равно XB (см. рисунок). Значит искомая сумма равна AX + XB=AB=1.

4.

Из стакана молока перелили ложку содержимого в стакан с чаем и небрежно перемешали. Потом ложку полученной смеси перелили обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: чая в стакане с молоком или молока в стакане с чаем?

Ответ Решение

Ответ. Поровну.

Решение. Общий объём жидкости в стакане с чаем не изменился. Значит, чая оттуда взяли ровно столько, сколько добавили молока.

5.

Дано 2008 целых чисел. Известно, что сумма любых 100 из них положительна. Докажите, что сумма всех чисел положительна.

Решение

Решение. Задумаемся над таким вопросом: а много ли неположительных чисел может быть среди данных 2002? Уж никак не больше 99: иначе мы взяли бы 100 неположительных чисел, и их сумма была бы неположительна. Тогда возьмём все отрицательные числа и еще столько чисел, чтобы всего получилось 100 чисел. Сумма взятых чисел будет положительной по условию, и все оставшиеся числа будут положительны.

6.

Стальную плитку размерами 17×10 см обвели карандашом на бумаге. Как найти центр получившегося прямоугольника, имея в распоряжении только эту плитку и карандаш?

Решение

Решение.

Пусть наши четырёхугольник и плитка расположены длинной стороной горизонтально. Повернем плитку на 90 градусов и приложим (внутрь) к каждой из вертикальных сторон нарисованного четырехугольника, проведем прямые по вертикальным краям плитки. Получим прямоугольник размерами 3 см на 10 см (см. рисунок). В нем уже можно провести диагонали плиткой, используя ее длинную сторону. Точка пересечения диагоналей будет центром исходного прямоугольника. (Стороны плитки (17 см) хватит, так как диагональ прямоугольника размерами 3 см на 10 см меньше суммы его сторон, т.е. 13 см.)

7.

У Серёжи было 7 картофелин, у Пети было 5, а у Юры вообще не было. Они сварили картошку и разделили её поровну на троих. Благодарный Юра дал Серёже с Петей 12 конфет. Как они должны поделить их по справедливости?

Ответ Решение

Ответ. Серёже девять конфет, Пете — три.

Решение. Всего у ребят было 12 картофелин. В итоге каждый съел по четыре картофелины, и значит Серёжа отдал Юре три картофелины, а Петя — одну, в три раза меньше. Значит и конфеты между мальчиками надо поделить так же: Серёже девять конфет, а Пете — три.

8.

Можно ли из квадрата со стороной 10 см вырезать несколько кругов, сумма диаметров которых больше 5 м?

Ответ Решение

Ответ. Можно.

Решение. Разлинуем квадрат на клетки прямыми, параллельными сторонам квадрата так, чтобы клеточки получились размером 1 мм на 1 мм. В каждую такую клеточку впишем кружок, его диаметр будет равен 1 мм. Всего таких кругов столько, сколько клеточек, то есть 100·100 штук, и сумма их диаметров равна 10000 мм, то есть 10 м.

Дополнительные задачи

9.

На плоскости расположен квадрат и невидимыми чернилами нанесена точка P. Человек в специальных очках видит точку. Если провести прямую, то он отвечает на вопрос, по какую сторону от неё лежит P (если P попала на эту прямую, он отвечает, что P лежит на прямой). Какое наименьшее число вопросов необходимо задать, чтобы узнать, лежит ли точка P внутри квадрата?

Ответ Решение

Ответ. 3.

Решение. Проведём первую прямую через одну из диагоналей квадрата. Она делит квадрат на две треугольные половины, и мы узнаём, в какой из половин может лежать точка. После этого проводим прямые через оставшиеся две стороны этой половины и узнаём, внутри точка или нет. (Если точка оказалась на первой прямой, можно выбрать любую половину.)

Объясним, почему двух вопросов не хватит. Дело в том, что двумя прямыми мы не можем отделить ограниченную область. Как бы мы не провели две прямые, после ответов может оказаться, что точка лежит внутри того (бесконечного) угла, образованного нашими прямыми, который пересекает квадрат, то есть может лежать и внутри квадрата, и вне.

10.

Поезд двигался в одном направлении 5,5 ч. Известно, что за любой отрезок времени длительностью 1 ч он проезжал ровно 100 км. Обязательно ли тогда

а)

поезд ехал равномерно?

Ответ Решение

Ответ. Нет.

Решение. Пусть например первые полчаса поезд ехал равномерно со скоростью 90 км/ч, следующие полчаса — равномерно со скоростью 110 км/ч, следующие полчаса — снова равномерно со скоростью 90 км/ч, следующие — со скоростью 110 км/ч, и так далее. Ясно, что тогда за первый час (да и за любой час вообще) он проехал ровно 100 км.

б)

средняя скорость поезда равнялась 100 км/ч?

Ответ Решение

Ответ. Нет.

Решение. Напомним сначала, что такое средняя скорость: это отношение общего пути к общему времени. То есть вопрос задачи можно переформулировать так: обязательно ли поезд за эти пять с половиной часов проехал ровно 550 километров? Конечно нет: например, двигаясь так, как описано в предыдущем пункте, поезд проедет 545 километров.

11.

Дано натуральное число, у которого все цифры, кроме одной, нечётные. Может ли оно делиться на 2008?

12.

Можно ли разбить прямоугольник на 9 прямоугольников так, что никакие два или более из них не образуют прямоугольника меньшего, чем исходный?

Ответ Решение

Ответ. Можно.

Решение.