МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Математический бой (19.11.2006)

В рамках Московского турнира математических боёв состоялся бой для учеников Малого Мехмата. Некоторые задачи были взяты из варианта полуфинала лиги 8Б.

1

В командной олимпиаде участвовали три команды. Но каждая команда имела два названия. Сдавая задачу, называлось либо одно, либо другое название. Увидев итоговую таблицу (см. рис.), председатель жюри заставил жюри восстановить результаты, определив как названия объединяются в пары. Как выполнить эту задачу, используя только таблицу?

	1	2	3	4	5	6	7	8
Альфа	+	+	-	-	+	-	-	-
Бетта	-	+	+	-	-	+	-	-
Гамма	-	-	+	-	-	+	+	-
Дельта	-	+	+	-	+	-	-	-
Эпсилон	-	-	-	+	-	+	+	-
Сигма	-	-	-	+	-	-	+	+

2

Автомобиль проехал расстояние от Костромы до Москвы со средней ско-ростью 50 км/ч. При этом сначала он двигался со скоростью 40 км/ч, а с какого-то момента — со скоростью 60 км/ч. Какую часть пути автомобиль ехал со скоростью 40 км/ч?

3

Квадрат 10×10 хотят покрыть квадратами 3×3 со сторонами, параллельными сторонам большого квадрата. Каким наименьшим числом квадратов 3×3 можно обойтись?

4

Найдите все такие наборы целых чисел (a, b, c), что выполняется равенство: (3a − b)(3b − c)(3c − a).

5

В ряд стоят N человек. Если бы из ряда вышел каждый третий, а потом из оставшихся — каждый четвертый, то ряд уменьшился бы на 27 человек. Но если бы из ряда вышел сначала каждый четвертый, а потом каждый третий, то ряд уменьшился бы на 26 человек. Чему могло равняться N?

6

Даны 2005 отрезков длиной 1, 2, 3, …, 2005. Два игрока по очереди берут себе по одному отрезку, пока не останется ровно 3 отрезка. Если из этих трёх оставшихся отрезков можно сложить треугольник, то выигрывает первый игрок, если нельзя – то второй. Есть ли у кого-либо из игроков выигрышная стратегия?

7

Существуют ли такие 19 различных натуральных чисел, что произведение любых 10 чисел кратно произведению оставшихся 9 чисел?

8

В некотором государстве 25 городов, которые объединены сетью из 24 дорог. Каждая дорога соединяет два города и ее длина равна 100 км. Составили справочник, который для каждой пары городов указывает расстояние, которое надо проехать от одного города до другого по дорогам. Сумма всех указанных чисел равна 122500 км. Математик Вася, узнав только это, утверждает: «В справочнике есть ошибка» Кто ошибается: Вася или справочник?

Протокол боя можно посмотреть здесь.