МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 13. Введение в геометрию (03.02.2007)

1.

а)

Известно, что треугольники ABC и ADC прямоугольные и равнобедренные. Следует ли из этого, что эти треугольники равны.

б)

Две стороны и высота, проведенная к третьей стороне, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте, проведенной к третьей стороне, другого треугольника. Можно ли утверждать, что эти треугольники равны?

2.

На стороне AC треугольника ABC отметили точку E. Известно, что периметр треугольника ABC равен 25 см, периметр треугольника ABE - 15 см, а периметр треугольника BCE - 17 см. Найдите длину отрезка BE.

3.

В треугольнике ABC проведена медиана BD. Точки E и F делят медиану на три равных отрезка (BE=EF=FD).Известно, что AB=1 и AF=AD. Найдите длину отрезка CE.

4.

Дана пирамида ABCD (см. рис.). Известно, что ∠ADB=∠DBC, ∠ABD=∠BDC, ∠BAD=∠ABC. Найдите площадь поверхности пирамиды (сумму площадей четырёх треугольников), если площадь треугольника ABC равна 10 см².

5.

Даны точки A, B, C, D такие, что отрезки AC и BD пересекаются в точке E. Отрезок AE на 1 см короче, чем отрезок AB, AE=DC, AD=BE, ∠ADC=∠DEC. Найдите длину EC.

6.

В остроугольном треугольнике ABC на сторонах AC и AB отметили такие точки K и L соответственно, что прямая KL параллельна прямой BC и при этом KL=KC. На стороне BC выбрана точка M так, что ∠KMB=∠BAC. Докажите, что KM=AL.

7.

Квадрат со стороной 1 разрезали на прямоугольники периметра 2. Сколько прямоугольников могло получиться?