МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 7. Геометрические конструкции (25.11.2006)

1.

Кролик, готовясь к приходу гостей, повесил в трёх углах своей многоугольной норы по лампочке. Пришедшие к нему Винни-Пух и Пятачок увидели, что не все горшочки с мёдом освещены. Когда они полезли за мёдом, две лампочки разбились. Кролик перевесил оставшуюся лампочку в некоторый угол так, что вся нора оказалась освещена. Могло ли такое быть?

2.

Квадрат ABCD со стороной 2 и квадрат DEFK со стороной 1 стоят рядом на верхней стороне AK квадрата AKLM со стороной 3. Между парами точек A и E, B и F, C и K, D и L натянуты паутинки. Паук поднимается снизу вверх по маршруту AEFB и спускается по маршруту CKDL. Какой маршрут короче?

3.

Нарисуйте на клетчатой бумаге треугольник с вершинами в углах клеток, две медианы которого перпендикуляры. (Медиана – это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.)

4.

На клетчатой бумаге отмечен прямоугольник размером 2×6 клеток. Можно ли раскрасить узлы клеток, лежащие на границе и внутри этого прямоугольника (всего их 21), в два цвета так, чтобы никакие четыре одноцветные точки не оказались в вершинах прямоугольника со сторонами, идущими вдоль линий сетки?

5.

a)

Каждую грань куба разбили на четыре одинаковых квадрата и каждый получившийся квадрат покрасили одной из трёх красок. Оказалось, что любые два квадрата, имеющие общую сторону, покрашены в разные цвета. Докажите, что всего имеется по восемь квадратов каждого цвета.

б)

Приведите пример такой раскраски.

6.

Внутри треугольника взяты n различных точек. Они соединяются между собой и с вершинами треугольника (до тех пор, пока это возможно) отрезками так, что отрезки не имеют общих внутренних точек и ни одна из выбранных точек не лежит внутри отрезка. Докажите, что число отрезков зависит только от количества точек и не зависит ни от их расположения, ни от того, как их соединяют . Найдите это число.

7.

а)

Докажите, что квадрат можно разрезать на 6 меньших квадратов (не обязательно равных).

б)

Докажите, что квадрат можно разрезать на 4 квадрата и любое число квадратов, большее 5.

в)

Докажите, что квадрат нельзя разрезать меньше, чем на 4 квадрата.

г)

Докажите, что на 5 квадратов разрезать тоже нельзя.