МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководитель Коробицын Дмитрий Александрович
2006/2007 учебный год

Занятие 7. Геометрические конструкции (25.11.2006)

1.
Кролик, готовясь к приходу гостей, повесил в трёх углах своей многоугольной норы по лампочке. Пришедшие к нему Винни-Пух и Пятачок увидели, что не все горшочки с мёдом освещены. Когда они полезли за мёдом, две лампочки разбились. Кролик перевесил оставшуюся лампочку в некоторый угол так, что вся нора оказалась освещена. Могло ли такое быть?
2.
Квадрат ABCD со стороной 2 и квадрат DEFK со стороной 1 стоят рядом на верхней стороне AK квадрата AKLM со стороной 3. Между парами точек A и E, B и F, C и K, D и L натянуты паутинки. Паук поднимается снизу вверх по маршруту AEFB и спускается по маршруту CKDL. Какой маршрут короче?
3.
Нарисуйте на клетчатой бумаге треугольник с вершинами в углах клеток, две медианы которого перпендикуляры. (Медиана – это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.)
4.
На клетчатой бумаге отмечен прямоугольник размером 2×6 клеток. Можно ли раскрасить узлы клеток, лежащие на границе и внутри этого прямоугольника (всего их 21), в два цвета так, чтобы никакие четыре одноцветные точки не оказались в вершинах прямоугольника со сторонами, идущими вдоль линий сетки?
5.
a)
Каждую грань куба разбили на четыре одинаковых квадрата и каждый получившийся квадрат покрасили одной из трёх красок. Оказалось, что любые два квадрата, имеющие общую сторону, покрашены в разные цвета. Докажите, что всего имеется по восемь квадратов каждого цвета.
б)
Приведите пример такой раскраски.
6.
Внутри треугольника взяты n различных точек. Они соединяются между собой и с вершинами треугольника (до тех пор, пока это возможно) отрезками так, что отрезки не имеют общих внутренних точек и ни одна из выбранных точек не лежит внутри отрезка. Докажите, что число отрезков зависит только от количества точек и не зависит ни от их расположения, ни от того, как их соединяют . Найдите это число.
7.
а)
Докажите, что квадрат можно разрезать на 6 меньших квадратов (не обязательно равных).
б)
Докажите, что квадрат можно разрезать на 4 квадрата и любое число квадратов, большее 5.
в)
Докажите, что квадрат нельзя разрезать меньше, чем на 4 квадрата.
г)
Докажите, что на 5 квадратов разрезать тоже нельзя.