МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 2. Анализ с конца (14.10.2006)

1.

Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет и отдал их второму, потом второй проиграл первому половину своих монет, затем опять первый проиграл половину монет. В результате у первого оказалось 15 монет, а у второго 33. Сколько монет было у каждого из пиратов перед началом игры?

Решение Ответ

Решение. В конце игры у первого пирата стало 15 монет. Перед этим он проиграл половину своих монет второму, значит, перед последней партией у него было 15·2=30 монет, тогда у второго было 33 − 15=18 монет.

Перед тем, как у пиратов стало соответственно 30 и 18 монет, второй проиграл половину своих первому. Значит, ещё раньше (после первой партии) у второго пирата было 18·2=36 монет, а у первого 30 − 18=12.

Перед этим прошла самая первая партия, после которой первый отдал полови-ну своих монет второму. Значит, в самом начале у первого пирата было 12·2=24 монеты, а у второго 36 − 12=24.

Ответ. У них было по 24 монеты.

2.

Все натуральные числа от 1 до 1000 выписали в следующем порядке: сначала были выписаны в порядке возрастания числа, сумма цифр которых равна 1, затем, также в порядке возрастания, числа с суммой цифр 2, потом - числа, сумма цифр которых равна 3 и т. д. На каком месте оказалось число 996?

Решение Ответ

Решение. Сумма цифр числа 996 равна 24. Причём 996 – самое большое из выписанных с такой суммой цифр (так как в первых двух разрядах стоят максимально большие цифры). Значит, перед числом 996 выписаны только числа с суммой цифр 25, 26, 27. (Никакое из выписанных цифр не может иметь сумму цифр, большую 27, так как число 999 имеет максимально возможную сумму цифр из всех трёхзначных, а значит, также и из всех двузначных, и однозначных чисел, а единственное выписанное четырёхзначное число 1000 имеет сумму цифр, равную 1.) Сумму цифр 27 имеет только число 999, сумму цифр 26 – числа 998, 989 и 899, сумму цифр 25 – числа 997, 979, 799; 988, 898, 889. Таким образом, перед числом 996 написано 10 чисел, значит, оно оказалось на 990 месте.

Ответ. На 990-м месте.

3.

С числами можно выполнять следующие операции: умножать на два или произвольным образом переставлять цифры (нельзя только ставить нуль на первое место). Можно ли с помощью таких операций из 1 получить 74?

Решение

Решение.

74 – 37 – 73

–47

Число 74 можно получить, указанными операциями, из числа 37 (умножением на 2) или из числа 47 (перестановкой цифр). Числа 37 и 47 нечётные, поэтому умножением на 2 их получить нельзя. Перестановкой цифр 37 можно получить из числа 73, а 47 из 74 (начальное число). 73 – нечётное число, поэтому его также можно получить только перестановкой цифр из числа 37 (тоже уже встречалось). Получается, что 74 применением указанных операций можно получить только из чисел 37, 47 и 73. Таким образом, из 1 нельзя получить 74.

4.

На окружности стоят 6 фишек белого и чёрного цветов. Настя убрала все белые фишки, у которых есть хотя бы один чёрный сосед. После этого Алёша убрал все чёрные фишки, у которых есть хотя бы один белый сосед. Могла ли после этого на окружности остаться одна фишка?

Решение Комментарий

Решение. Могла.

Например, такое могло быть, если в начале фишки располагались по окружности в следующем порядке: чёрная, белая, белая, белая, чёрная, белая. Тогда Настя уберёт три белые фишки, у которых есть чёрные соседи, и оставшиеся три фишки будут располагаться в следующем порядке: чёрная, белая, чёрная. После этого Алёша уберёт обе чёрные фишки, и останется одна белая.

Комментарий. Указанное расположение фишек можно получить, если рассмотреть ситуацию с конца, заметив, что если в итоге осталась одна фишка, то чёрной она быть не могла.

5.

На Малом Мехмате в к. 12-04 всем заходившим туда детям давали шоколадки. Первому зашедшему дали одну шоколадку и десятую часть всех оставшихся, второму зашедшему дали две шоколадки и десятую часть оставшихся, ..., девятому зашедшему дали девять шоколадок и десятую часть оставшихся. После этого прибежал Гоша, но, к сожалению, шоколадки уже закончились. Сколько шоколадок получили дети?

Решение Ответ

Решение. Когда пришёл Гоша, то шоколадок уже не осталось, то есть, можно сказать, что их осталось 0 штук. Перед этим в комнату заходил ребёнок (девятый по счёту), которому дали сначала 9 шоколадок, а потом десятую часть оставшихся. Если отдать десятую часть шоколадок, то ещё останется девять десятых. Но девять десятых от количества оставшихся шоколадок оказалось равно 0, значит, и одна десятая тоже равна 0. Таким образом, школьник №9 (будем называть его так) получил 9 + 0=9 шоколадок. До девятого школьника заходил школьник №8. Он получил 8 шоколадок и десятую часть оставшихся. После того, как он ушёл, осталось 9 шоколадок – «девять десятых оставшихся». Значит, «десятая часть оставшихся», равна 1, а всего ребёнок, пришедший восьмым, получил 8 + 1=9 шоколадок. Таким образом, перед приходом его приходом было 18 шоколадок. Аналогично можно получить, что перед приходом школьника №7 было 27 шоколадок, перед приходом школьника №6 – 36 шоколадок, №5 – 45 шоколадок, №4 – 54 шоколадки, №3 – 63 шоколадки, №2 – 72 шоколадки и перед приходом первого ребёнка была 81 шоколадка. Таким образом, дети получили 81 шоколадку.

Ответ. 81 шоколадку.

6.

Ваня задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул последнюю цифру результата, полученное число умножил на 7, зачеркнул последнюю цифру результата и получил 21. Какое число задумал Ваня?

Решение Ответ

Решение. В итоге Ваня поучил 21, значит, на предпоследнем шаге у него было число вида 21a, где a - некоторая цифра (вычёркиванием её и получается число 21). 21a было получено умножением на 7, значит, это число должно делиться на 7. Среди чисел, имеющих указанный вид, это 210 и 217. Эти числа могли быть получены умножением на 7 из чисел 30 и 31 соответственно. Значит, число на предыдущем шаге имело вид: 30b или 31b, где b - некоторая цифра. Оно было получено из исходного числа умножением на 13, а значит, делится на 13. Заметим, что 299 делится на 13, следующее число, делящееся на 13, равно 312, а следующее за ним – 325. Таким образом, среди чисел вида 30b и 31b только 312 удовлетворяет условию. Получается, что на втором шаге было число 312, а исходное число, которое задумал Ваня, равно 24.
Легко проверить, что 24 подходит:
24 → 312 → 31 → 217 → 21.

Ответ. 24

7.

По кругу расставлены 9 нулей и единиц, причём не все расставленные числа равны. За один ход между каждыми двумя соседними числами записывается 0, если эти числа равны, и 1, если они не равны. После этого старые числа стираются. Могут ли через некоторое время все числа стать равными?

Решение

Решение. Предположим, что в некоторый момент все числа стали равными, причём до этого такого не происходило. Если все числа равны 0, то, значит, перед этим любые два соседних написанных числа были равны, так как иначе после очередного хода появился хотя бы один 0. Но нетрудно заметить, что из того, что любые два рядом стоящих числа были равны, следует, что все они были равны. Но это противоречит нашему предположению о том, что рассматриваемый момент первый, когда все числа стали равны. Если же все в рассматриваемый момент все числа равны не 0, а 1, то получается, что в предыдущей расстановке любые два соседних числа были различны (если это не так, то появился хотя бы один 0). Значит, в предыдущей расстановке нули и единицы должны были чередоваться, но так как всего было записано 9 чисел – нечётное число, то этого быть не может. В этом нетрудно убедиться, если выбрать любое число из выписанных и начать двигаться по кругу. Третье, пятое, седьмое и девятое числа будут равны первому. Но первое и девятое числа соседние, а значит, равны быть не могут. Получается, что наше предположение неверно, и все числа стать равными не могут.

8.

Из некоторого числа вычли сумму его цифр. Из полученного числа также вычли сумму цифр (новую). После 11 таких вычитаний впервые получился 0. Какое число было первым?

Решение Ответ

Решение. Так как любое число при делении на 9 даёт такой же остаток, как и сумма его цифр, то после первого вычитания, а также после каждого следующего, будет получаться число, делящееся на 9.

Сначала докажем такое утверждение: если после выполнения указанной операции (а именно вычитания из числа его суммы цифр) получилось двузначное число, то исходное число было либо двузначным, либо трёхзначным, но не превосходящим 126. Это следует из следующих соображений. Если исходное число было трёхзначным, то его сумма цифр не могла быть больше 27, а так как наибольшее двузначное число - это 99, то исходное трёхзначное число не могло быть больше 99+27=126. Исходное число не могло быть четырёхзначным, так как максимально возможная сумма цифр четырёхзначного числа равна 36, но 99+36 значительно меньше даже самого маленького четырёхзначного числа. Тем более исходное число не могло быть пятизначным, шестизначным и т. д., так как добавление нового разряда увеличивает наименьшее значение исходного числа в 10 раз, а значение максимально возможной суммы цифр на 9 (то есть, менее, чем в 2 раза).

Теперь вернёмся к исходной задаче. Числа полученные на шагах со 2-го по 11-ый делятся на 9. Рассмотрим для всех чисел, не превосходящих 126 и делящихся на 9, что можно получить вычитанием из них их суммы цифр. Тогда получим, что:
перед 11-ым вычитанием было число 9;
перед 10-ым вычитанием было число 18;
перед 9-ым вычитанием было число 27;
перед 8-ым вычитанием было число 36;
перед 7-ым вычитанием было число 45;
перед 6-ым вычитанием было число 54;
перед 5-ым вычитанием было число 63;
перед 4-ым вычитанием было число 72;
перед 3-им вычитанием было число 81;
перед 2-ым вычитанием было число 90 или 99;

Найдём теперь, какое число было в самом начале (то есть, перед первым вычитанием). Так как полученное из него число двузначное, то оно само не может быть больше 126. Для всех чисел от 91 до 126 выпишем, какие числа можно из них получить вычитанием суммы цифр. Получим, что исходное число могло быть любым от 100 до 109.

Ответ. 100, 101, ..., 109.