МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 24. Числовые инварианты (05.05.2007)

1.

Хулиган Лёша порвал стенгазету, причем каждый попадающийся ему кусок он рвал на четыре части. Могло ли получиться 2007 кусков?

2.

На доске написано число 12. Каждую минуту его умножают или делят либо на 2, либо на 3, и результат записывают на доску вместо исходного числа. Докажите, что число, которое будет написано ровно через час, не будет равно 54.

3.

Черный ящик работает так: любые три числа a, b и c, попадающие в него, он преобразует в числа a+b-c, b+c-a, c+a-b. Можно ли с помощью этого ящика из набора 1, 3, 8 получить числа –1, 3, 9?

4.

На доске написаны числа от 1 до 20. а) Пару чисел (x, y) можно заменять на x+y+1. Какое число останется в конце?

б)

Теперь мы каждый раз заменяем пару (x, y) на 3x+5y. Может ли в конце остаться 2007?

в)

Может ли в конце остаться 4000, если мы заменяем (x, y) на 4(x+y)?

5.

У Ивана Царевича есть 2 волшебных меча. Одним он может отрубить 21 голову у Змея Горыныча, а другим - 4 головы, но тогда у Змея Горыныча вырастет 60 голов. Может ли Иван убить 100-главого Змея?

6.

Можно ли операциями «умножить на 7» и «прибавить 6» получить из единицы число 1000?

7.

Назовем «хорошим произведением» двух чисел a и b число a+b+ab. Можно ли из чисел 1 и 4, после многократного применения этой операции к уже полученным произведениям, получить: а) 1999; б) 2006?

8.

На доске написаны числа 1, 2 и 4. Разрешается стереть с доски два числа a и b, а вместо них записать (a+b)/V2 и (a-b)/V2. Можно ли с помощью таких операций получить на доске числа V2, 2V2 и V3?