МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководитель Коробицын Дмитрий Александрович
2006/2007 учебный год

Занятие 22. Геометрическое место точек (21.04.2007)

Геометрическое место точек (сокращённо ГМТ), обладающих некоторым свойством, - это фигура, состоящая из всех точек, для которых это свойство выполнено.
1.
а)
Найдите ГМТ, удалённых от данной точки А на фиксированное расстояние, равное a.
б)
Найдите ГМТ, равноудалённых от данных точек A и B.
в)
Найдите ГМТ, расположенных к точке A ближе, чем к точке B.
2.
a)
Докажите, что если в треугольнике длина медианы равна половине длины стороны, к которой проведена, то этот треугольник прямоугольный.
б)
Докажите обратное утверждение: в прямоугольном треугольнике длина медианы, проведённой к гипотенузе, равна половине её длины.
3.
Найдите ГМТ, из которых данный отрезок АВ виден а) под прямым; б) острым; в) тупым углом.
4.
Дан треугольник ABC. Найдите ГМТ X таких, что AX≤BX≤CX.
5.
Дан прямоугольник ABCD. Найдите ГМТ X, для которых AX+BX=CX+DX.
6.
Дан отрезок AB. Найдите ГМТ C таких, что треугольник ABC остроугольный.
7.
К стене прислонена деревянная лестница, на средней ступеньке которой сидит котенок. В некоторый момент лестница начинает падать так, что ее основание и верх скользят соответственно по полу и стене. По какой траектории движется при этом котенок?
8.
Точки P и Q движутся с одинаковой скоростью по двум прямым, пересекающимся в точке O. Докажите, что на плоскости существует неподвижная точка A, расстояние от которой до точек P и Q в любой момент времени равны.
9.
На сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах постороены окружности. Докажите, что они покрывают весь четырёхугольник.
10.
Учитель нарисовал на доске прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине B и вписанный в него равносторонний треугольник KMP, такой, что точки K, M, P лежат на сторонах AB, BC, CA соответственно, причём отрезки KM И AC параллельны. Затем он стёр с доски всё, кроме точек A, P, C. Как по этим точкам восстановить треугольник ABC?