МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 22. Геометрическое место точек (21.04.2007)

1.

а)

Найдите ГМТ, удалённых от данной точки А на фиксированное расстояние, равное a.

б)

Найдите ГМТ, равноудалённых от данных точек A и B.

в)

Найдите ГМТ, расположенных к точке A ближе, чем к точке B.

2.

a)

Докажите, что если в треугольнике длина медианы равна половине длины стороны, к которой проведена, то этот треугольник прямоугольный.

б)

Докажите обратное утверждение: в прямоугольном треугольнике длина медианы, проведённой к гипотенузе, равна половине её длины.

3.

Найдите ГМТ, из которых данный отрезок АВ виден а) под прямым; б) острым; в) тупым углом.

4.

Дан треугольник ABC. Найдите ГМТ X таких, что AX≤BX≤CX.

5.

Дан прямоугольник ABCD. Найдите ГМТ X, для которых AX+BX=CX+DX.

6.

Дан отрезок AB. Найдите ГМТ C таких, что треугольник ABC остроугольный.

7.

К стене прислонена деревянная лестница, на средней ступеньке которой сидит котенок. В некоторый момент лестница начинает падать так, что ее основание и верх скользят соответственно по полу и стене. По какой траектории движется при этом котенок?

8.

Точки P и Q движутся с одинаковой скоростью по двум прямым, пересекающимся в точке O. Докажите, что на плоскости существует неподвижная точка A, расстояние от которой до точек P и Q в любой момент времени равны.

9.

На сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах постороены окружности. Докажите, что они покрывают весь четырёхугольник.

10.

Учитель нарисовал на доске прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине B и вписанный в него равносторонний треугольник KMP, такой, что точки K, M, P лежат на сторонах AB, BC, CA соответственно, причём отрезки KM И AC параллельны. Затем он стёр с доски всё, кроме точек A, P, C. Как по этим точкам восстановить треугольник ABC?