МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 23. Инвариант (28.04.2007)

1.

На доске написано число 1234. Его можно заменить на другое, прибавив к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из них не равна 9, либо вычтя из соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не равна 0. Можно ли с помощью нескольких таких операций получить число 4004?

2.

На доске написаны числа от 1 до 100. Разрешается стереть любые два числа и написать вместо них их разность. Может ли после 99 операций остаться число 1?

3.

а)

В таблице 2×2 одна из угловых клеток покрашена в чёрный цвет, а все остальные - в белый. Можно перекрашивать в противоположный цвет все клетки любого столбца или любой строки. Возможно ли сделать всю таблицу белой с помощью нескольких таких перекрашиваний?

б)

А таблицу 5×5, у которой в чёрный цвет покрашены все угловые клетки?

4.

В одной из вершин куба написано число 1, а в остальных - нули. Можно прибавлять по единице к числам, стоящим на концах любого ребра. Можно ли сделать так, чтобы все числа а) делились на 2; б) делились на 3?

5.

а)

Круг разделён на шесть секторов. В каждом из них стоит по фишке. Одним ходом разрешается выбрать любые две и передвинуть их в соседние сектора. Можно ли собрать все фишки в одном секторе?

б)

Можно ли получить расположение (5, 1, 0, 0, 0, 0), если есть дополнительное условие, что каждым ходом двигать фишки можно только в противоположных направлениях?

6.

Есть куча из 1001 камня. Одним ходом из какой-нибудь кучи, где лежит больше одного камня, выкидывают один из них, а затем любую кучу делят на две меньшие. Можно ли через несколько ходов получить лишь кучи, состоящие из трех камней?

7.

В стране Серобурмалин живут 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Когда встречаются два хамелеона разного цвета, они одновременно приобретают окраску третьего цвета (например, серый и бурый становятся малиновыми). Может ли через некоторое время оказаться, что все хамелеоны имеют один цвет?

8.

Числа от 1 до 19 расположены в порядке возрастания. Разрешается выбрать любые три стоящих подряд числа и переставить их циклически (то есть, если вначале было a, b, c, то стало b, c, a). Можно ли расположить числа в порядке убывания?