МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 25. Включения - исключения (12.05.2007)

1.

В классе все увлекаются математикой или биологией. Сколько человек в классе, если математикой занимаются 20 человек, биологией - 15, а и тем, и другим - 10?

2.

Большая группа туристов выехала в заграничное турне. Из них владеет английским языком 28 человек, французским - 13, немецким - 10, английским и французским - 8, французским и немецким - 5, английским и немецким - 6, всеми тремя языками - 2, а 41 человек не владеет ни одним из трех языков. Сколько всего туристов?

3.

Дядя Федор собирается все 92 дня каникул провести в деревне. При этом он строго придерживается такого распорядка: каждый второй день (то есть через день) ходит купаться, каждый третий - ходит в магазин за продуктами, и каждый пятый - работает в огороде. В первый день дядя Федор занимался сразу всем. Сколько за каникулы будет: а) "приятных" дней, когда дядя Федор будет только купаться; б) "скучных" дней, когда у него не будет никаких дел; в) тяжелых дней, когда ему придется делать все три дела?

4.

Куб со стороной 10 разбит на 1000 кубиков, в каждом из которых записано число. Сумма чисел каждого ряда из десяти кубиков (расположенного в любом из трёх возможных направлений) равна 1. В одном из кубиков записано число 40. Через него проходят три "слоя" 1×10×10, параллельные граням куба. Найдите сумму всех чисел, записанных в кубиках, не входящих ни в один из этих "слоёв".

5.

Три ученика решили вместе 100 задач, при этом каждый из них решил ровно 60. Будем называть задачу, которую решили все трое, лёгкой, а задачу, которую решил только один из них, - трудной. На сколько больше трудных задач, чем лёгких?

6.

В комнате площадью 6 кв.м постелили три ковра произвольной формы площадью 3 кв.м каждый. Докажите, что какие-либо два из них перекрываются по площади, не меньшей 1 кв.м.

7.

В классе есть a₁ учеников, получивших в течение года хотя бы одну двойку, a₂; учеников, получивших не менее двух двоек, ..., a_k; учеников, получивших не менее k двоек. Сколько всего двоек было получено в течение года учениками этого класса? (Предполагается, что больше k двоек ни у кого нет.)

8.

В прямоугольнике площади 1 расположено 5 фигур площади 1/2 каждая. Докажите, что найдутся:

а)

две фигуры, площадь общей части которых не меньше 3/20;

б)

две фигуры, площадь общей части которых не меньше 1/5;

в)

три фигуры, площадь общей части которых не меньше 1/20.