МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 20. Подсчёт углов (31.03.2007)

1.

Докажите, что в любом треугольнике сумма углов равна 180°.

2.

В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны 2, а высота, опущенная из вершины А, равна 1. Какими могут быть углы треугольника?

3.

Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. Известно, что AB = AD = CD, ∠DBC = 70°, ∠BAC = 20° и ∠AOD = 80°. Найдите ∠BCD.

4.

AH – высота равнобедренного треугольника ABC (AB=BC), а AK – биссектриса угла BAH. Найдите угол KAC.

5.

В треугольнике ABC биссектрисы углов B и C пересекаются в точке O. Известно, что угол A равен α. Найдите угол BOC.

6.

В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Известно, что центры вписанной в ΔABK и описанной около ΔABC окружностей совпадают. Найдите углы ΔABC.

7.

а)

Сумма углов любого треугольника равна 180° (см. задачу 1). А чему равна сумма углов выпуклого n-угольника?

б)

Докажите, что сумма углов при вершинах пятиконечной звезды (см. рис.) равна 180°.

8.

В треугольнике АВС взята точка D таким образом, что ∠BDC = 2∠BAC. На отрезке CD выбрана такая точка Е, что BD+DE =AE. Докажите, что ∠АЕC = 2∠ABC.