МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Устная математическая олимпиада «Юный мыслитель»

19 марта 2006 г. в гимназии на Юго-Западе № 1543 прошла устная математическая олимпиада «Юный мыслитель» для школьников 6 класса. В олимпиаде приняли участие 95 школьников шестого, пятого, и даже четвёртого класса. Мероприятие проводилось совместными усилиями Малого мехмата, Дома научно-технического творчества молодёжи и гимназии № 1543. В организации и проведении олимпиады были задействованы около 30 студентов мехмата МГУ: преподавателей Малого мехмата и выпускников гимназии; около 20 учителей и учащихся гимназии 1543. Здесь мы публикуем подробный отчёт об олимпиаде.

• правила олимпиады
• условия и решения задач
• статистика
• победители и призеры

Как проходила олимпиада

Олимпиада длилась три часа. Сначала школьники получили только задачи первого тура. Школьник, решивший хотя бы четыре задачи первого тура, получал задачи второго тура. Таких школьников оказалось около тридцати. Через два часа после начала олимпиады задачи второго тура были выданы всем школьникам. Школьник, решивший хотя бы одну задачу второго тура, получал задачу третьего тура. Комиссии жюри (16 комиссий по 2-3 эксперта) находились в специальных аудиториях. Школьник, решивший задачу, переходил в аудиторию с жюри и рассказывал решение одной из комиссий, после чего возвращался в свою аудиторию и продолжал решать задачи. На каждую задачу выделялось три попытки рассказа её решения. Школьник, получивший задачи второго тура, мог решать и сдавать также задачи первого тура. Итог подводился по количеству решённых задач.

Условия задач

Первый тур

1.

Один шестиклассник зашифровал своё имя, написав вместо букв их номера в алфавите. Получилось вот что:

Его приятель решил зашифровать таким способом своё имя, и получил то же самое число, хотя звали его по-другому. Определите имена мальчиков. (В русском алфавите 33 буквы.)

Ответ Решение

Ответ. Мальчиков зовут Вадик и Эдик.

Решение. Поскольку номер буквы не может начинаться с цифры 0, в середине слова содержится буква с номером 10, то есть «И». После неё могут идти либо две буквы с номерами 1 и 2 — «АБ», либо буква с номером 12 — «К». В русском языке нет имён, заканчивающихся буквосочетанием «ИАБ». Поэтому последняя буква — «К». Начинаться имя может либо с букв с номерами 3, 1, 5 — «ВАД», либо с букв с номерами 31, 5 — «ЭД», либо с букв с номерами 3, 15 — «ВН». В первых двух случаях получаем имена «ВАДИК» и «ЭДИК», в последнем случае получаем бессмысленную комбинацию букв.

2

Есть три стержня, на один из них надето три красных диска, на другой три жёлтых и на третий три зелёных. Разрешается снимать верхний диск с любого стержня и надевать на другой. Можно ли с помощью таких перекладываний сделать так, чтобы на каждом стержне получился «светофор»: вверху красный диск, посередине жёлтый, а внизу зелёный, если на каждый стержень помещается максимум
а) 4 диска;
б) 5 дисков?

Ответ Решение пункта а) Решение пункта б)

Ответ. а) нельзя; б) можно.

Решение пункта а). Чтобы поместить зелёный диск внизу на стержне, на который изначально было надето 3 жёлтых диска, нужно в какой-то момент все три жёлтых диска снять. Это означает, что в некоторый момент времени все диски должны оказаться на двух стержнях. Но на двух стержнях могут поместиться только 8 дисков, а у нас имеется 9. Поэтому сложить «светофор» на каждом стержне невозможно.

Решение пункта б). Можно, например, выполнить следующие шаги:

0	1-2	3	4-5
6-8	9	10-11	12
13-14	15	16	17-18
19	20

3.

Олимпиада началась утром и продолжалась более двух, но менее трёх часов. Ваня заметил, что числа, обозначавшие к началу олимпиады часы и минуты на электронных часах, к её окончанию поменялись местами. Сколько продолжалась олимпиада?

Ответ Решение

Ответ. 2 часа 57 минут.

Решение. Поскольку олимпиада началась утром и продолжалась два часа и несколько минут, к моменту окончания часы показывали либо на два часа больше, либо на три. То есть либо олимпиада началась в х часов х + 2 минуты, а закончилась в х + 2 часа х минут, либо она началась в х часов х + 3 минуты, а закончилась в х + 3 часа х минут.
Рассмотрим первый случай. Если бы олимпиада закончилась в x + 2 часов x + 2 минут, то она шла бы ровно два часа, а так она шла на 2 минуты меньше, что не подходит по условию.
Во втором случае, если бы олимпиада закончилась в x + 3 часов x + 3 минут, то она шла бы ровно 3 часа, а так на 3 минуты меньше, то есть 2 часа 57 минут, что подходит.

4.

Фрекен Бок сварила вишнёвое варенье. Если бы она взяла вишни в полтора раза больше, а сахара в полтора раза меньше, то варенья получилось бы ровно столько же. Карлсон попробовал и сказал, что с вишней всё в порядке, а вот сахара следовало бы взять вдвое больше. Во сколько раз больше варенья получилось бы по его рецепту?

Ответ Решение

Ответ. В 1,6 раза.

Решение.
I способ:
По условию отбавление трети сахара компенсируется прибавлением половины вишни. Значит, для расчётов всю вишню можно заменить двумя третями исходного количества сахара (Карлсон бы одобрил такую замену!). Итак, вначале было как бы 2⁄3 сахара и ещё «целый» сахар, то есть 5⁄3 сахара, а по рецепту Карлсона следовало бы ещё добавить один «целый» сахар, то есть стало бы 8⁄3 сахара. Для ответа на вопрос задачи, разделим 8⁄3 на 5⁄34, получим 8⁄5=1,6.
II способ:
Пусть Фрекен Бок взяла х кг вишни и у кг сахара. Если бы она взяла 1,5х кг вишни и 2⁄3у кг сахара, то варенья получилось бы столько же, то есть х + у = 1,5х + 2⁄3у. Значит, 1⁄3у = 1⁄2х, или
у = 3⁄2х = 1,5х.
Надо узнать, во сколько раз больше получится варенья, если взять х кг вишни и 2у кг сахара. То есть, во сколько раз х + 2у больше, чем х + у.
х + у = х + 1,5х = 2,5х
х + 2у = х + 3х = 4х
4х больше, чем 2,5х в 4 : 2,5 = 1,6 раза.

Второй тур

5.

На одной из клеток доски 15×43 стоит фишка. Два игрока по очереди двигают эту фишку по вертикали или горизонтали на любую клетку, на которой фишка ещё не побывала. Оставлять фишку на месте нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его противник, если фишка изначально находится
а) в центральной клетке;
б) в произвольной клетке?

Ответ Решение пункта а) Решение пункта б)

Ответ. Выиграет игрок, который ходит вторым.

Решение пункта а).
Если первый игрок делает ход в любую клетку центрального столбца, второй должен сделать ход в любую другую клетку этого же столбца. Это всегда возможно, так как всего клеток в столбце нечётное число, в одной из них фишка находилась первоначально, поэтому после хода первого в столбце всегда будет оставаться нечётное число клеток.
Если же первый делает ход в любую другую клетку доски, второй должен сделать ход по горизонтали так, чтобы фишка оказалась в клетке, симметричной (относительно вертикальной оси симметрии) клетке, в которую сходил первый. Следующим своим ходом первый нарушит симметрию. Значит, второй снова сможет сделать ход, симметричный относительно вертикальной оси. И так далее.

Решение пункта б).
Внутри столбца, на котором изначально стоит фишка, стратегия второго игрока не поменяется — там по-прежнему нечётное число клеток.
Если же первый игрок делает ход в любую другую клетку, первый должен мысленно переставить столбец, в котором изначально находится фишка, в центр доски, и делать симметричные ходы. Перестановка столбцов не влияет на возможность сделать горизонтальный ход.
Итак, мы доказали, что, независимо от ходов первого игрока, второй, придерживаясь указанной стратегии, всегда сможет сделать ход. Значит, выигрывает второй игрок.

6.

Дима долго пытался вырезать из клетчатого прямоугольника 4×14 все фигурки тетрамино, по две каждого вида. (Тетрамино — это фигурки из четырёх клеток). Когда он уже совсем отчаялся, сестра посоветовала склеить две противоположные стороны длиной 14 между собой так, чтобы получилась цилиндрическая трубка. Можно ли из поверхности получившейся трубки вырезать фигурки тетрамино?

I способ II способ

I способ.
Дима может разрезать трубку на 7 колечек шириной в 2 клетки. Из каждого колечка он легко вырежет по 2 одинаковые фигурки.
Один из способов такого разрезания показан на рисунке:

II способ. (Придумала Орехова Алёна, 6 класс, гимназия 1543).
Дима может помучиться ещё некоторое время и вырезать фигурки из прямоугольника.

7.

Два математика ехали в трамвае. Один постоянно смотрел в окно, другой дремал. При очередной остановке у светофора смотревший в окно воскликнул:
— Удивительное совпадение!
— Что такое? — проснулся второй.
— Представляешь, складывал я недавно два натуральных числа. Если бы я сделал все правильно, то сумма была бы равна номеру вон того «Мерседеса». Но я почему-то в первом слагаемом расположил цифры в обратном порядке, а у второго вообще пропустил одну цифру. И потому сумма оказалась равной номеру вон тех «Жигулей». Так вот скажи: сможешь ли ты определить, какую цифру я пропустил?
— Нет, — поразмыслив, ответил второй. — Этих данных недостаточно.
— Хорошо, добавлю: она равна номеру дома, мимо которого мы проехали полчаса назад.
— Ну, тогда я могу назвать эту цифру. Назовите и вы.

Ответ Решение

Ответ. Цифра 9.

Решение. Сумма цифр числа при делении на 9 даёт такой же остаток, как и само число. Пусть первое число при делении на 9 даёт остаток a, а второе — b. При перестановке цифр в числе его сумма цифр не меняется. А вот при пропуске цифры сумма цифр числа уменьшается на эту цифру. Поэтому на самом деле первый математик сложил числа, дающие при делении на 9 остатки a и b – x, где х — остаток, который даёт пропущенная цифра при делении на 9. (Или 9 + b – х, если х > b.)
Значит, верная сумма чисел даёт остаток на х больший (или на 9 – x меньший), чем неверная. Значит, и сумма цифр номера «Мерседеса» даёт при делении на 9 остаток на х больший (или на 9 – х меньший), чем неверная.
Цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 дают при делении на 9 остатки 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8, а цифры 9 и 0 дают остаток 0.
Значит, если бы первый математик пропустил любую из цифр от 1 до 8, второй бы мог сразу дать ответ, если бы вычел из суммы цифр номера «Мерседеса» номер «Жигулей».
Раз он не смог догадаться, значит, разность остатков при делении на 9 получилась равная нулю, т. е. пропущенная цифра равна нулю или девятке. Поскольку номер дома не может быть равен нулю, пропущенная цифра — девятка.

Статистика

Диплом первой степени присуждался школьникам, решившим не менее 7 задач (7 участников), диплом второй степени — решившим 6 задач (14 участников), диплом третьей степени — 5  задач (23 участника). Все 9 задач не решил никто из участников, но при этом каждую задачу решил хотя бы один участник. Самыми сложными оказались задачи 5б и 7.

Победители и призеры олимпиады

Дипломы первой степени

Дипломы второй степени

Дипломы третьей степени