МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 3. Затруднительные ситуации (22.10.2005)

1.

Те, кто пишет контрольные на пятёрки, много занимаются. Вовочка много занимался. Напишет ли он контрольную на пять?

Решение

Решение. Не обязательно. Двоечники тоже могут много заниматься.

2.

Замок окружён рвом, имеющим форму прямоугольной рамки. Ширина рва всюду одинакова. Есть две доски, ширина которых в точности равна ширине рва. Можно ли переправиться через ров?

3.

Можно ли погрузить на три грузовика семь бочек с квасом, семь бочек пустых и семь бочек, заполненных на половину, чтобы на каждом грузовике было по семь бочек и поровну кваса?

Решение

Решение. Можно. На первые два грузовика грузим по три полных бочки, по одной полупустой и по три пустых. Всё остальное грузим на третий грузовик.

4.

Два поезда движутся навстречу друг другу по одной ветке железной дороги. От железной дороги отходит тупик, но длина его меньше длины поезда. Как поездам разминуться?

Решение

Решение. Пусть в тупик можно попасть, двигаясь справа налево. Левый поезд отцепляет часть своих вагонов, сам заходит в тупик с первыми вагонами. Правый поезд проходит мимо, пропуская его. Левый поезд выходит из тупика, и вагоны левого поезда подцепляются к хвосту правого поезда. Сам локомотив левого поезда возвращается с помощью тупика к своим оставшимся вагонам. Правый поезд отводит вагоны левого поезда как можно дальше вправо за тупик и отцепляет там. Если теперь левый поезд по-прежнему не помещается в тупике, проделывается та же самая операция. Постепенно все вагоны левого поезда оказываются в нужном порядке справа от тупика. Тогда локомотив левого поезда заходит в тупик, правый поезд цепляет все вагоны левого и увозит их влево за тупик. Локомотив выходит из тупика и забирает свои вагоны.

5.

Три котёнка и три щенка съели килограмм сосисок. Рыжий котёнок съел больше всех, а серый — не меньше всех. Может ли быть так, что щенки съели больше сосисок, чем котята?

Решение

Решение. Такое может быть. Например, пусть серый котёнок съел две сосиски, рыжий котёнок съел пять сосисок, третий котёнок — одну, а все щенки — по четыре. Тогда щенки съели больше сосисок, чем котята.

6.

Можно ли из пяти бумажных колец сделать такую цепочку, чтобы при разрезании а) только одного звена цепочка распалась на пять отдельных частей; б)одного любого звена цепочка распалась на пять отдельных частей?

7.

В баке не менее десяти литров воды. Можно ли набрать шесть литров с помощью девятилитрового ведра и пятилитрового бидона?

Решение

Решение. Можно. Набираем пять литров в бидон и переливаем в ведро. Снова набираем пять литров в бидон (это ещё можно сделать, так как в баке не менее десяти литров) и переливаем в ведро. Теперь в ведре девять литров, а в бидоне — один. Выливаем воду из ведра обратно в бак, переливаем один литр из бидона в ведро. Снова набираем в бидон пять литров и переливаем в ведро. Теперь в ведре шесть литров.

8.

Три мужа со своими жёнами желают переправиться с одного берега реки на другой, но в их распоряжении есть лодка, в которой помещаются только два человека. Ни один муж не желает, чтобы его жена находилась без него в обществе других мужчин. Как им переправиться на другой берег?

Решение

Решение.
Заметим, что сначала могут поехать либо две женщины, либо муж с женой, но в любом случае на противоположном берегу должна остаться женщина, так как три женщины не могут находиться в обществе двух мужчин. К этой женщине могут поехать только две женщины, так как чужие мужья не могут оставить своих жён на берегу и уехать, а её собственный муж не может приехать к ней в сопровождении чужой жены. В одиночку же ему ехать бессмысленно, так как некому будет вернуть лодку.
Итак, три женщины оказались на другом берегу, одна из них вернулась. Очевидно, что теперь могут ехать только мужья тех двух женщин. В любом другом случае условие будет нарушено. Обратно вернуться могут только муж с женой, так как ни один мужчина не может ни отпустить свою жену, ни оставить её, ведь на обоих берегах есть мужчины.
Теперь две пары на этом берегу, одна — на другом. Женщина без своего мужа уехать не может. Значит, должны ехать двое мужчин. Вернуться должна женщина, так как мужчина не может поехать на берег, где осталось две женщины.
Итак, на этом берегу — три женщины. Две из них едут на противоположный берег, а дальше либо муж возвращается за женой, либо одна из женщин за подругой.