МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Руководитель Елена Анатольевна Чернышева
2005/2006 учебный год

Версия для печати

Математическая регата (4.02.2006)

Блок 1 (10 мин) (каждая задача — 6 баллов)

1-1.
Вычислите значение произведения: 77×9…9 (всего 2006 девяток).
Ответ. 76×9…923 (всего 2004 девятки)
Решение. 77×9…9=77×(10…0 − 1)=770…0 − 77=769…923
1-2.
Разрежьте изображённую на рисунке фигуру четыре равные части.
Уголок

1-3.
Из спичек выложено равенство I/II − I/III = I/V. Переместите одну спичку так, чтобы равенство стало верным.
Решение. I/II + I/III = I/VI

Блок 2 (15 мин) (каждая задача — 7 баллов)

2-1.
Катя на выполнение домашнего задания тратит на 10% больше времени, чем Лена, а Маша тратит на 10% меньше времени, чем Катя. Кто из девочек быстрее всего делает домашнее задание?
Ответ. Маша
Решение. Пусть Лена тратит на домашнее задание х времени, тогда Катя тратит 110% от х, то есть 1,1х, а Маша тратит 90% от времени Кати, то есть 90% от 1,1х, что составляет 0,9·1,1х=0,99х. Значит, быстрее всего домашнее задание делает Маша.
2-2.
Поставьте на шахматную доску как можно больше слонов, чтобы они не били друг друга.
Решение.
Слоны

Рассмотрим диагонали, идущие справа налево сверху вниз. Всего на доске 8 таких диагоналей одного цвета, но при этом в противоположные угловые клетки нельзя поставить слонов, поэтому можно разместить не более 7 слонов одного цвета.
2-3.
Средний рост восьми баскетболистов равен 195 см. Какое наибольшее количество из этих игроков может быть ниже, чем 191 см?
Ответ. Семь
Решение. Если все восемь игроков ниже 191 см, то их средний рост меньше 191 см. Семь же игроков могут быть ниже, например, если один баскетболист имеет рост 230 см, а рост остальных — 190 см, то (230 + 190·7):8=195.

Блок 3 (15 мин) (каждая задача — 7 баллов)

3-1.
Температуру можно измерять в градусах Цельсия и Фаренгейта. Известно, что вода замерзает при 0° С, что соответствует 32° F, а кипит при 100° С или при 212° F. Сейчас на улице 5 градусов мороза по Цельсию. Какова температура по Фаренгейту?
Ответ. 23° F
Решение. Из условия следует, что 100° С = 180° F, то есть, 1° С = 1,8° F. Поэтому, 5 градусам мороза по Цельсию соответствуют: 32° F – 5·1,8° F = 23° F.
3-2.
На столе лежат шесть непересекающихся контуров из проволоки, частично накрытые листом бумаги (см. рис.). Известно, что три контура сделаны из медной проволоки (она потолще), а три — из тонкой алюминиевой, причем один из контуров закрыт полностью, а пять других частично видны. Какой контур закрыт полностью, алюминиевый или медный? Свой ответ достаточно проиллюстрировать рисунком, показывающим расположение всех шести контуров.
Контуры

Решение. Полностью закрыт медный контур.
Контуры

3-3.
Найдите наименьшее составное число, которое не делится ни на одно из натуральных чисел от двух до десяти.
Решение. Любое составное число является произведением не менее чем двух простых множителей. Из условия задачи следует, что каждый из этих множителей не может быть меньше, чем 11. Значит, искомое число не меньше, чем 11² = 121, а это число удовлетворяет условию.

Блок 4 (20 мин) (каждая задача — 8 баллов)

4-1.
Вася задумал число и прибавил к этому числу его сумму цифр. Петя также задумал число и тоже прибавил к нему его сумму цифр. В результате сложения у Васи и Пети получились одинаковые числа. Верно ли, что они задумывали одинаковые числа?
Ответ. Нет, неверно
Решение. Например, если Вася задумал число 91, а Петя — число 100, то оба получили сумму 101.
4-2.
На плоскости расположены пять точек A, B, C, D и E так, что AC = 5 см, AE = 4 см; BC = 14 см, BD = 2 см, DE = 3 см. Найдите расстояние между серединами отрезков AB и CD.
Ответ. 3,5 см
Решение.
Так как BD + DE + EA + AC = BC, то точки A, D и E лежат на отрезке BC так, как это показано на рис. Тогда AB = 9 см; CD = 12 см.
Точки


Искомое расстояние можно, например, вычислить так: середина отрезка AB удалена от точки B на половину длины AB, то есть, на 4,5 см. Середина отрезка CD удалена от точки C на половину длины CD, то есть, на 6 см. Следовательно, расстояние между серединами отрезков AB и CD равно
14 – 4,5 – 6 = 3,5.
4-3.
В вершинах треугольника записаны числа 1, 2 и 3. Затем каждое из чисел одновременно заменили на сумму двух соседних. Эту операцию проделали еще некоторое количество раз. Могла ли сумма получившихся в итоге трех чисел оказаться равной 3000000?
Решение. Пусть в какой-то момент в вершинах записаны числа а, b и с. Тогда после указанной операции вместо них будут записаны числа b + c, c + a и a + b. Так как (b + c) + (c + a) + (a + b) = 2(a + b + c), то после каждой операции сумма трёх записанных чисел удваивается. Сумма исходных чисел не делится на 5, поэтому и сумма чисел, полученных после любого количества операций, на 5 делиться не может.

Результаты регаты

Команда1-11-21-32-12-22-33-13-23-34-14-24-3Σ
Happy End26607775784160
Рваные шарики45657707382155
МММФ-6-667760078-047
Жираф!05657670703046
Без названия2667761730-045

Списки команд

<
Happy End
Подольский Александр
Жуков Георгий
Макаров Даниил
Ландо Андрей
Рваные шарики
Заводов Алексей
Зыбинов Никита
Решетников Иван
Кириллов Павел
МММФ-6
Селезнёв Кирилл
Афанасьева Анастасия
Журихина Анастасия
Изотова Ирина
Жираф!
Сущенко Павел
Кириллов Владислав
Коротов Денис
Какурин Даниил
Без названия
Довжик Виктор
Довжик Сергей
Билялетдинов Илья
Левин Александр
Нагорнов Виктор

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS