МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 16. Скоро! Скоро! Скоро! (11.03.2006)

1.

За победу в турнире Архимеда команда из 8 человек получила 12 конфет. Дети поделили конфеты между собой, не разламывая их. Определите, верны ли следующие утверждения:

1.  «кому-то досталось по крайней мере 2 конфеты»;
2.  «кому-то досталось по крайней мере 3 конфеты»;
3.  «двум людям досталось по крайней мере две конфеты»;
4.  «каждому досталась хотя бы одна конфета»?

Ответ Решение

Ответ. Первое утверждение верно, все остальные — нет.

Решение.

1. Да, верно. Предположим противное, т.е. что существует ситуация, когда дети поделили конфеты так, что каждый получил 0 или 1 конфету. Тогда все дети в сумме получили не более 8 конфет, что противоречит условию. Значит наше предположение неверно, и такая ситуация существовать не может. Т. о. всегда найдётся тот, кто получил, по крайней мере, 2 конфеты.
   Для всех остальных пунктов можно построить пример, когда дети поделили 12 конфет так, что указанные утверждения не выполняются:
2. 4 человека получили по 2 конфеты, а остальные 4 по одной;
3. Все конфеты забрал один человек;
4. Аналогично пункту 3.

2.

У Белоснежки есть 5 одинаковых яблок. Она хочет разделить их поровну между собой и семью гномами. Хватит ли ей для этого 7 разрезов? (За один раз Белоснежка может отрезать от яблока любую его часть).

3.

У трёх членов жюри спросили: «Сколько команд будет участвовать в турнире Архимеда?» Один сказал: «Меньше тридцати трех». Другой: «Меньше тридцати одной», а третий: «Меньше тридцати двух». Сколько команд участвовало в турнире Архимеда, если правы оказались в точности двое членов жюри?

Ответ Решение

Ответ. 31 команда.

Решение. Заметим, что из верности второго утверждения вытекает верность остальных. А так как верными оказались ровно два утверждения, то второе утверждение неверно, а первое и третье верны. Т. о. количество команд, с одной стороны, не может быть больше 31 (т. к. иначе неверно третье утверждение), а с другой стороны, не может быть меньше 31 (т.к. иначе верно второе утверждение). Значит, единственно возможное количество команд — 31. Легко проверить, что 31 удовлетворяет условию задачи.

4.

В турнире Архимеда участвуют команды из восьми человек. Сколькими способами можно в команде выбрать капитана и заместителя?

Ответ Решение

Ответ. 56 способами.

Решение. Капитаном может быть любой из восьми человек, т.е. существует 8 способов выбрать капитана. Любой из оставшихся может стать заместителем капитана. Таким образом, для любого варианта выбора капитана (из 8 возможных) существует 7 способов выбрать его заместителя. Тогда всего 8×7=56 способов.

5.

Пятачку на день рождения подарили несколько разноцветных шариков, причем красных шариков среди них было 45%. После того, как Пятачок отдал один синий и один зеленый шарики Ослику Иа-Иа, красных шариков у Пятачка стало 50%. Сколько шариков подарили Пятачку на день рождения?

6.

Оля забыла линейку, зато у неё есть шоколадная плитка размером 7×9 см. Помогите Оле начертить отрезок длиной 1 см.

7.

Николай с сыном и Пётр с сыном были на рыбалке. Всего поймали 49 рыб. Николай сказал: «Я поймал столько же рыб, сколько мой сын». Пётр сказал: «А я поймал втрое больше, чем мой сын». Сколько рыб поймал каждый рыбак?