МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Руководитель Елена Анатольевна Чернышева
2005/2006 учебный год

Версия для печати

Математическая регата (29.10.2005)

Блок 1 (10 мин) (каждая задача — 6 баллов)

1-1.
Из книги выпал кусок, страницы которого имеют номера от 480 до 612. Сколько страниц в выпавшем куске?
Решение. Страниц с номерами от 480 до 612 — 133. Поскольку в выпавшем куске несколько листов, то есть, количество страниц — чётно, значит, до 612 считали, не включая само число 612. Принимался также ответ 134, если решение опиралось на то, что правая страница имеет всегда нечётный номер.
1-2.
Разрежьте прямоугольник прямолинейным разрезом на две части, из которых можно сложить треугольник.
1-3.
В ящике лежит 10 пар белых перчаток и 20 пар чёрных. Сколько перчаток нужно вынуть не глядя, чтобы среди них наверняка оказались левая и правая перчатки одного цвета? (Ответ объясните.)
Ответ. 31 перчатку.
Решение. Если мы вынем меньше перчаток, то может случайно оказаться, что мы вытянули 20 левых чёрных перчаток и 10 правых белых. Если же мы вытянем 31, то либо среди них есть белая пара, либо белых не больше 10. Если белых не больше 10, то чёрных не меньше 21, а значит, среди чёрных найдётся пара.

Блок 2 (15 мин) (каждая задача — 7 баллов)

2-1.
Каждое из четырёх слагаемых на 4 меньше их суммы. Чему равны слагаемые? Ответ объясните.
Ответ. 1 1/3
Решение. Понятно, что слагаемые одинаковы. То есть одно число на 4 меньше суммы четырёх таких же чисел, или сумма трёх таких чисел равна четырём. Значит, каждое число равно 4/3=1 1/3.
2-2.
Разрежьте прямоугольник 3×9 на 8 квадратов.
2-3.
Из спичек выложено равенство XIV − XVI = II. Переместите одну спичку так, чтобы равенство стало верным.
Решение. Переложите одну спичку из знака равенства к минусу, получится равенство 14=16 − 2.

Блок 3 (20 мин) (каждая задача — 8 баллов)

3-1.
Решите ребус: ТИК + ТАК=АКТ (Каждую букву надо заменить цифрами, при этом одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным буквам — разные цифры.) Найдите как можно больше решений.
Ответ. 432 + 492=924, 216 + 246=612, 261 + 251=512.
Решение.
Понятно, что Т — чётная цифра. Значит, Т может быть двойкой или четвёркой. Шестёркой Т уже быть не может, так как не получится трёхзначное число.
Если Т — двойка, то К может быть либо единицей, либо шестёркой.
Пусть К — единица. Тогда 2И1 + 2А1=А12. Значит, А равно либо четырём, либо пяти. Легко проверить, что А4 не может быть равно четырём, тогда А=5, И=6, и получается решение 261+251=512$.
Пусть К — шестёрка. Тогда 2И6 + 2А6=А62. Если А — четвёрка, то И — единица. Если А — пятёрка, то И — десятка, что невозможно. Значит, имеем решение 216 + 246=612.
Пусть Т — четвёрка. Тогда К либо двойка, либо семёрка.
Если К — двойка, то 4И2 + 4А2=А24. Легко проверить, что А не может быть равно восьми. Если А равно девяти, то И равно трём. То есть 432 + 492=924.
Пусть К — семёрка. Тогда 4И7 + 4А7=А74. А не может быть равно восьми. Если А=9, то И=7. Но это невозможно, так как К=7.
Итак, получается три решения: 432 + 492=924, 216 + 246=612, 261 + 251=512.
3-2.
Расставьте в квадрате 4×4 одного короля, двух ладей и трёх слонов так, чтобы ни одна из этих фигур не била ни одну другую.
3-3.
На острове рыцарей и лжецов (рыцари всегда говорят правду, а лжецы — лгут) в некоторой компании каждый заявил остальным: «Среди вас — два рыцаря». Сколько рыцарей могло быть в этой компании?
Ответ. 0 или 3
Решение. Понятно, что если все лжецы, то такая ситуация возможна. Если же есть хотя бы один рыцарь, то, поскольку он говорит правду, среди остальных должно быть ровно два рыцаря, то есть всего три рыцаря. Такая ситуация тоже возможна.

Блок 4 (25 мин) (каждая задача — 9 баллов)

4-1.
Найдите наибольшее натуральное число, любые две последовательные цифры которого образуют точный квадрат. Покажите, что это число наибольшее.
Решение.
Пусть первая цифра — единица. Тогда следующая может быть только шестёркой, следующая — только четвёркой, следующая — только девяткой, а на девятку точные двузначные квадраты не начинаются. Получили число 1649.
Аналогично, начав с двойки, получим число 25. И так далее, 3649, 49, 649, 81649. Из этих шести чисел наибольшее — 81649.
4-2.
Разделите квадрат 4×4 на две равные части так, чтобы линия разрезов шла по сторонам клеток. Найдите как можно больше способов. (Фигуры, получившиеся при разных способах разрезания, должны быть разными.)
4-3.
Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама — за 2, малыш — за 5, а бабушка — за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей скоростью. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя. Кидаться фонариком тоже нельзя.)
Решение. Переходят папа с мамой (2), один из них (пусть папа) возвращается (1), переходят малыш с бабушкой (10), второй из родителей (мама) возвращается (2), и папа с мамой переходят (2). 2 + 1 + 10 + 2 + 2=17.

Результаты регаты

12-05
№ команды1-11-21-32-12-22-33-13-23-34-14-24-3Σ
616007708599052
800007758406037
200007700805936
506007008600936
310007058209032
406007700207029
700007720209027
111007020707025
12-06
№ команды1-11-21-32-12-22-33-13-23-34-14-24-3Σ
716607708409957
666007708440042
206007008809038
506007058460137
316077720230035
106007028040027
806007080030024
416007000004018
12-07
№ команды1-11-21-32-12-22-33-13-23-34-14-24-3Σ
266007780400947
100007758406037
600507708807042
506007728803041
306007028001024
406000000006012
12-12
№ команды1-11-21-32-12-22-33-13-23-34-14-24-3Σ
260007728509044
510007758606040
910007728205032
310007008006022
110007050206021
800007000009016
60000000000707
41000000000405
71000000000304
12-13
№ команды1-11-21-32-12-22-33-13-23-34-14-24-3Σ
603007758409043
206007750609040
116007028408036
316007728201034
706007028600029
13007004006021
06007000400017
506007020000015
803007000000010
90000702000009
16-10
№ команды1-11-21-32-12-22-33-13-23-34-14-24-3Σ
416277728699064
8163070212839051
506007058439042
216607720730039
116677020800037
726007708103034
1016007708100030
916017028400029
616020700106023
316000000800015
Списки команд
12-05-1
Журихина Анастасия
Некрасова Екатерина
Патрина Анна
Назарова Екатерина
12-05-2
Тетюнский Иван
Пинахин Александр
Мажорин Юрий
Мамасуев Никита
12-05-3
Кириллов Владислав
Тузов Фёдор
Федосеев Алексей
Бондарев Иван
12-05-4
Куценко Андрей
Ковырский Артём
Ванюшкин Сергей
Богомолов Данила
12-05-5
Воронова Надежда
Куратцева Анна
Линёва Ирина
12-05-6
Новиков Денис
Тамбиева Асият
Яковлев Александр
Петров Дмитрий
12-05-7
Андреев Василий
Белова Дарья
Соколова Татьяна
12-05-8
Покрытан Георгий
Садов Никита
Крашенников
Соколов
12-06-1
Давыдова Юлия
Тягунова Милена
Гуртий
Долженко Николай
Сультимов Сонто
12-06-2
Моряшова Ольга
Козик Игорь
Меньшенина Дарья
Денисова
12-06-3
Кочешков Георгий
Малахов Антон
Фатеев Александр
Курганов
Савостьянов Андрей
12-06-4
Федоренко
Фёдоров Игорь
Комарьков Никита
Хелемский Ростислав
Пономарёв Николай
12-06-5
Сайетханова
Лысюк
Хватикова Илона
Никифорова Анна
Изотова Ирина
12-06-6
Паксюлов
Чухаджян Л.
Чухаджян Г.
Балаян Роберт
12-06-7
Руховская Кристина
Шубарева Ангелина
Медведева Мария
Подлепина
Корзинкина Алёна
12-06-8
Бондаренко Юлия
Червинская Анна
Гузовская Анастасия
Каирова Камила
12-07-1
Чернова Кристина
Назарова Анастасия
Ураева Дарья
Нагорнов Виктор
12-07-2
Голубенко Дмитрий
Егунов Илья
Хлевной Александр
Бобров Роман
12-07-3
Сафронов Илья
Евкарпиев Денис
Шарафутдинов Константин
Дегтярёв Евгений
Тимофеев Виктор
12-07-4
Казанцева Наталья
Драгун Алиса
Кныш Тимофей
Хватов Филипп
12-07-5
Коротов Денис
Мельников Сергей
Плечкайтите Ангелина
Скурихина Наталья
12-07-6
Шугушев Роман
Крючков Павел
Цхай Дмитрий
Какурин Даниил
12-12-1
Москвина А.
Пирязева П.
Жиркова М.
Чернопуп А.
12-12-2
Бушунова А.
Семина А.
Хохлов И.
12-12-3
Акучуков В.
Бубер И.
Притуленко В.
Чижиков П.
12-12-4
Лупина И.
Леоненко Н.
Новикова Т.
Чибисова А.
12-12-5
Колинов Д.
Аников А. (???)
Матюшкина З.
Бахоева И.
12-12-6
Верхова М.
Исмаилова И.
Велиева Н.
Висирхаджиева Д.
12-12-7
Рычков С.
Мамашевский А.
Халафян С.
Пинчук И.
12-12-8
Сущенко П.
Жидяевский Г.
Буров Г.
Квочко И.
12-12-9
Антипов А.
Микаелян В.
Молчанов С.
Закарая Б.
12-13-1
Селифанов Игорь
Сницеренко Евгений
Харченков Алексей
Пашнин Дмитрий
12-13-2
Милова Вера
Милова Лида
Губерна Алина
Карпова Ксения
12-13-3
Попов Владислав
Маркин Алексей
Хахмович Виталий
Артюшин Дмитрий
12-13-4а
Аль-Шедиват Муаммар
12-13-4б
Чичибабин Григорий
Пичугин Алексей
12-13-5
Мехоношина Анастасия
Косырева Агастасия
Викторова Мария
Платонова Милана
12-13-6
Байгузина Диана
Евтрафова Дарья
Галеева Дарья
Белозёрова Валерия
12-13-7
Быстров Дмитрий
Гришин Ян
Логинов Дмитрий
Черкасов Игорь
12-13-8
Вильневчиц Артём
Голядинец Олег
Усов Максим
12-13-9
Грязнова Анастасия
Никитонов Сергей
Чернов Сергей
Проскурина Дарья
16-10-1
Змеева Екатерина
Макаров Данил
Резник Александр
Шигурова Анна
16-10-2
Плещельман Виктория
Ермишкина Екатерина
Губина Дарья
Фельдман Наталия
Гурьянов Алексей
16-10-3
Волчёнков Михаил
Билялетдинов Илья
Николаев Андрей
16-10-4
Жуков Георгий
Столяров Арсений
Подольский Александр
Гончаренко Иван
16-10-5
Афанасьева Анастасия
Суворова Калина
Краснова Анна
Маеров Тимофей
16-10-6
Винничук Станислав
Федосинов Кирилл
Самахов Рустам
Григорьев Иван
16-10-7
Сорокин
Пчелинцев
Кац
Заичев
16-10-8
Немченко Антон
Зыбинов Никита
Дорофеев ???
Заводов Алексей
16-10-9
Пажитков Георгий
Довжик Сергей
Ландо Андрей
Чернышов Андрей
16-10-10
Жукова Юлия
Новикова Анна
Кондрашова Инна
Барабаш Ксения

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS