|
Занятие 0. ПИСЬМЕННАЯ РАБОТА
|
1. | Есть две верёвочки, каждая горит ровно 20 минут.
Скорость горения верёвочек разная в разных местах. Как с их помощью засечь 15 минут?
|
Решение
|
|
Решение.
Поджигаем одну верёвку с двух сторон, а вторую только с одной.
Когда пройдёт 10 мин, первая верёвка полностью сгорит, а от второй останется кусок,
который горит 10 мин.
В этот момент поджигаем остаток второй верёвки с другой стороны.
Вторая верёвка полностью сгорит за 5 мин. В результате мы отмерим ровно 15 минут.
|
|
| |
2. | Какая последняя цифра в числе
1 * 2 * 3 * ... * 99?
Какая цифра у этого числа двадцатая с конца? (Кстати, число
1 * 2 * 3 * ... * 99 обозначают 99!, а как обозначается число
1 * 2 * 3 * 4 * 5?)
|
Указание
Решение
|
|
Указание.
Делится ли число 1 * 2 * 3 * ... * 99 на 10? Сколько у этого числа 0 в конце?
|
|
|
Решение.
Число 1 * 2 * 3 * ... * 99 делится на 10, так как 10 является одним из его множителей.
А по признаку делимости на 10, число делится на 10, только если оно оканчивается на 0.
Значит, последняя цифра в нашем числе это 0.
Чтобы найти, какая цифра у этого числа 20 с конца, посчитаем, сколько у него в конце нулей.
Для этого нам нужно узнать, на сколько десяток делится наше число. Если число делится на 5 и на 2,
то оно делится на 10. Так как множителей 2 в нашем числе больше, чем множителей 5,
то количество множителей 10 совпадает с количеством множителей 5.
Среди чисел от 1 до 99 девятнадцать делится на 5 (5, 10, 15, … 80, 85, 95),
три числа делятся на 25 = 52 (25, 50 и 75).
То есть у нас всего 19 + 3 = 22 множителя-пятёрки. Число 1 * 2 * 3 * ... * 99 заканчивается
на 22 нуля, значит двадцатое число с конца — тоже ноль.
|
|
| |
3. | В аудиторию 14-08 Главного здания МГУ прибежали
семиклассницы и семиклассники и стали усаживаться на
скамейки. Сели по пять человек на скамейку - 14
школьникам не хватило мест. Сели по шесть человек на
скамейку - 8 мест осталось свободными.
Сколько скамеек и сколько школьников в аудитории
14-08?
|
Указание
Решение
|
|
Указание.
Рассадите сначала школьников по 5 человек, а потом каждого из оставшихся досадите шестым на скамейки.
На скольких скамейках сидят по 5 человек и на скольких скамейках сидят по 6?
|
|
|
Решение.
Рассадим сначала по 5 школьников на скамейки. 14 человек останутся стоять.
Каждого из этих 14 школьников мы посадим на свободное 6 место на скамейке.
После этого у нас станет 14 скамеек, на которой сидит по 6 школьников,
и 8 скамеек, на которых сидит по 5 школьников (так как 8 мест осталось свободными.)
В итоге получается, что у нас было 14 + 8 = 22 скамейки.
|
|
| |
4. |
После жестоких баталий от Шахматного Королевства
осталось вот что.
Белый король хочет оcмотреть свои
владения, побывав на каждой клетке только один раз и
вернуться в замок на клетке e1. Нарисуйте его
маршрут.
|
Указание
Решение
|
|
Указание.
Нарисуйте из каких клеток можно прийти на клетки, помеченные красными крестиками.
И куда из этих клеток можно уйти?
|
|
|
Решение.
|
|
| |
5. |
|
У одного фермера
было два сына-близнеца, Сеня и Веня.
Каждый из них не хотел получить участок земли, чем-либо
уступающий участку брата. Тогда фермер решил
разделить свои владения на две части, равные не только
по площади, но и по форме. Как ему это сделать?
А Сеню и Веню с тех пор зовут братья Ровноделы.
|
|
|
Указание
Решение
|
|
Указание.
Посчитайте площадь земли, которую получит каждый из братьев
|
|
|
Решение.
|
|
| |
6. | Однажды, пошли
братья Ровноделы в поход. Веня взял с
собой три банки сгущёнки, а Сеня только две. Вечером
встретили они грибника и вместе с ним съели всю сгущёнку.
Всем досталось поровну.
Грибник за это дал братьям пять грибов.
Как поделить грибы? Ведь братья Ровноделы любят точнось!
|
Указание1
Указание2
Решение
|
|
Указание1.
Посчитайте, сколько сгущёнки съел каждый? |
|
|
Указание2.
Сколько сгущёнки дал каждый брат леснику по отдельности?
Кто больше и во сколько раз?
|
|
|
Решение.
Каждый съел 5/3 банок сгущёнки. Веня отдал леснику (3 - 5/3) = 4/3 банки сгущёнки,
а Сеня (2 - 5/3) = 1/3 банки. Веня дал леснику в 4 раза больше сгущёнки чем Сеня, значит и
получить грибов он должен в 4 раза больше.
Так как грибов всего 5, то Веня получит 4 гриба, а Сеня — 1 гриб.
|
|
| |
7. | А в двугой раз Сеня
и Веня нашли в поле кошелёк с девятью
монетами и запиской: "Одна из этих монет фальшивая!
Она на 1/9 грамма легче остальных". Братья
решили настоящие монеты поделить поровну, а фальшивую
выбросить. Дома нашлись только чашечные васы. За какое
минимальное число взвешиваний можно найти фальшивую монету?
|
Решение
|
|
Решение.
Разделите монеты на кучи по 3, и взвесьте две из них, если
одна из них весит меньше, то в ней находится фальшивая монета, если одинакого, то
фальшивая монета в 3 куче.
Мы нашли три монеты, среди которых 1 фальшивая. Взвесим 2 из них, если какая-то легче, то она и фальшивая.
Если же они весят одинакого, то фальшивая третья.
|
|
|
|
