|
Занятие 9. Опять делимость и ковбои
|
1. |
Решите уравнение (2x + y)(5x + 3y) = 7
Найдите только целочисленные решения.
|
Ответ
Указание
|
|
Ответ.
Это уравнение имеет 4 решения.
1. x = -4, y = 9;
2. x = 20, y = -33;
3. x = 4, y = -9;
4. x = -20, y = 33;
|
|
|
|
|
Указание.
Так как 7 простое число, то в левой части возможно только 4 варианта:
1. (2x + y) = 1; (5x + 3y) = 7
2. (2x + y) = 7; (5x + 3y) = 1
3. (2x + y) = -1; (5x + 3y) = -7
4. (2x + y) = -7; (5x + 3y) = -1
|
|
|
|
| |
2. |
Ковбой Джо зашел в бар и попросил бутылку виски за 3 доллара,
трубку за 6 долларов, 3 пачки табака и 9 коробок непромокаемых
спичек, цену которых он не знал. Бармен потребовал 11 долларов
80 центов. После этого Джо вытащил револьвер и закричал: "Обсчитать
хочешь?!" Бармен быстро назвал другую сумму. Как Джо
догадался об обмане?
|
Указание
|
|
Указание.
У всех покупок, которые сделал Джо, либо цена (3 и 6 долларов),
либо количество (3 пачки и 9 каробок) делится на 3.
Может ли так получиться, что общая
стоимость покупки на 3 не делится?
|
|
|
|
| |
3. |
Билл и Джек купили одинаковые револьверы. Билл платил только
3-долларовыми купюрами, а Джек -- 4-долларовыми. Общее количество
банкнот, которое они отдали, не превосходит 13. Сколько
стоит револьвер?
|
Ответ
Указание
|
|
|
|
Указание.
Так как за револьвер можно заплатить 3-долларовыми купюрами,
то его цена делится на 3. Точно так же цена револьвера
делится на 4. Значит, цена револьвера делится на 12.
Если бы цена была больше 12 долларов, то
сколько купюр заплатили бы Билл и Джек?
|
|
|
|
| |
4. |
Ковбой Билл играл на одноруком бандите. Если выпадают "три
семёрки", то он выигрывает 80 долларов, а если "три яблока", то
24 доллара. Любая другая комбинация - - проигрыш. Билетик для
игры стоит 4 доллара. Однажды он похвастался: "Я начал с 10
долларов, а через час у меня была тысяча!" Могло ли так быть?
|
Указание
|
|
Указание.
Докажите, что выигрыш Билла обязательно
должен делится на 4. А по его словам, он
выиграл 990 долларов.
|
|
|
|
| |
5. |
Существуют ли такие три числа, что их попарные наибольшие об
щие делители равны 1, 2 и 3?
|
Ответ
Указание
|
|
Ответ.
Например, 2, 3 и 6
|
|
|
|
|
Указание.
Одно из этих чисел, должно делиться на 2 и на 3 (то есть на 6).
Другое должно делиться на 2, но не на 3. А третье ---
на 3, но не на 2. При этом других общих
множителей у этих чисел быть не должно.
|
|
|
|
| |
6. |
У ковбоя Билла 180 коров. Сколькими способами он может разде
лить своё стадо на много одинаковых стад?
|
Ответ
Указание
|
|
|
|
Указание.
Если 180 делится на какое-нибудь число k, то
180 коров можно разбить на группы по k коров.
Посчитайте, сколько различных делителей у числа 180.
|
|
|
|
| |
7. |
Джо и Джек играют в такую игру: Джек называет три цифры, а
Джо из них составляет однозначное, двузначное или трёхзначное
число, делящееся на три. Если это ему удаётся, Джек отдает 12
долларов, а если нет, Джо отдаёт 1000 долларов. За кого бы вы
играли в эту игру?
|
Ответ
Решение
|
|
Ответ.
Из любых трёх цифр можно составить либо
одно, либо двух либо трёхзначное число, которое делится на 3.
Так что лучше играть за Джо.
|
|
|
|
|
Решение.
Постараемся найти три цифры, которые бы подошди Джеку.
Эти цифры не должны деляться на 3. Значит, их
остатки при делении на 3 равны либо 1, либо 2.
Если у всех трёх чисел остатки одинаковые,
то любое трёхзначное число, составленное из
этих цифр, делится на 3. (Почему?)
Если же у двух из них остатки разные,
то, любое двухзначное число, составленное из
этих 2 цифр делится на 3. (Почему?)
|
|
|
|
| |
8. |
В банк Сакраменто можно положить за один раз 120 долларов или
снять 300 долларов. У Билла есть 1000 долларов, выигранная в
задаче 4. Какую максимальную сумму он может положить в банк
за несколько визитов?
|
Ответ
Указание
|
|
|
|
Указание.
Числа 300 и 120 делятся на 60, значит, сумма, которую можно положить в банк,
тоже делится на 60. Наибольшее такое число, меньшее 1000, равно 960.
Поэтому больше 960 долларов Билл в банк положить не сможет.
Одноко, то, что 960 долларов положить можно, ещё не доказано.
Покажите, как нужно вкладывать деньги Биллу,
чтобы суметь вложить 960 долларов?
|
|
|
|
|
|
