МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Ответ. a) 123×321 способ,
b) 1234×4321×567×765.

Решение. a) Плащ гномик может выбрать 123 способом. После того как он выбрал плащ, колпак он может выбрать 321 способом. То есть для каждого выбранного плаща у нас есть 321 способ выбрать колпак. Поэтому, всего 321 + 321 + ... + 321 = 123×321 способа.
b) Решается точно-также. Плащ и колпак можно выбрать 1234×4321 способами. На каждый выбор плаща и колпака можно выбрать 567 моделей левого ботинка. Всего таких наборов 1234×4321×567.
Добавив еще выбор правого ботинка, получаем еще один множитель: 1234×4321×567×765.

Ответ. 2×2×2×2×2×2

Указание. Эта задача имеет много общего с задачей 0.b. Надо совершить выбор столько раз, сколько у нас начинок. Каждую либо берём, либо нет. Можно сказать так: есть две модели первой начинки - есть перец, нет перца, две модели второй начинки - есть лук, нет лука и так далее...

Ответ. (2003×2002)/2 дороги

Указание. У каждой дороги есть 2 конца, каждый у какого-нибудь домика. Если мы посчитаем, сколько концов у всех дорог и разделим это число попалам, то мы как раз и получим число дорог.
Посчитаем теперь сколько у нас концов дорог. В каждый домик ведут дороги из всех других домиков, то есть 2002 дороги, значит около каждого доми 2002 конуа дорог. Всего домиков 2003, значит, всего концов 2003×2002. А дорог всего (2003×2002)/2.

Ioaao. (2003×2002×2001)/(3×2×1)

Oeacaiea. Нужно посчитать, сколькими способами мы можем выбрать три домика (вершины треугольника) из 2003. Первый домик мы можем выбрать 2003 способами. После того, как мы выбрали первый домик, у нас есть 2002 кандидата на выбор второго домика (один домик мы уже не модем выбрать, так как он выбран первым.) После того, как выбрали второй домик, у нас есть 2001 способ выбрать третий. И так, у нас есть 2003×2002×2001 способов выбрать первую, вторую и третью вершины.
Но тут мы учитывали, в каком порядке мы выбирали домики-вершины. Но, на самом деле, нам это не важно. И если мы будем выбирать домики-вершины в другом порядке, то полученный треугольник не изменится. Значит, всего способов выбрать треугольник меньше. Давайте посчитаем, сколько способов выбрать первую, вторую и третью вершины преведут к одному треугольнику. Сколько у нас есть способов три домика расставить по порядку? На первом месте может стоять один из трёх домиков, на втором --- один из оставшихся 2, на третьем --- оставшийся 1 домик. Значит, всего 3×2×1 способ расставить три домика по порядку. И так у нас 3×2×1 способов выбора домиков-вершин приводит к одному и тому-же треугольнику. Следовательно, всего (2003×2002×2001)/(3×2×1) способов выбрать вершины треугольника.