МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 7.  ИНДУКЦИЯ

1.  

Докажите, что это равенство верно для любого n

1 + 2 + ... + n = n×(n + 1)/2

2.  

Последовательность an задана правилами a1 = 1, an+1 = an + 2004 Докажите, что an = 2004n - 2003.
 

3.  

Последовательность bn задана правилами b1 = 1, bn+1 = 2bn + 1 Докажите, что bn = 2n - 1.
 

4.  

a) Докажите, что число 11..,1, в котором 3n единиц, делится на 3n
b) Верно ли, что число, у которого сумма цифр делится на 27, само делится на 27?
 

5.  

Игра «Ханойская башня» Имеется пирамида с n кольцами возрастающих размеров (внизу - самое большое) и ещё два пустых стержня той же высоты. Разрешается перекладывать верхнее кольцо с одного стержня на другой, но при этом запрещается класть большее кольцо на меньшее. Докажите, что можно переложить все кольца с одного стержня на другой.
 

6.  

Докажите, что 4n - 3n - 1 делится на 9 при любом натуральном n.
 

7.  

Строители строят одноэтажный дом из бетонных плит, окрашенных с одной стороны в синий цвет, а с другой — в жёлтый. Сначала строятся наружные стены, а потом одна за другой проводятся прямые перегородки от стены до стены в любом направлении. Докажите, что если снаружи дом синий, то сколько бы перегородок в нём не провели, там обязательно найдётся комната, стены которой жёлтые.
 

8.  

На обычных часах разность между двумя соседними числами (между большим и меньшим из них) равна 1 или 11.
a) Можно ли так переставить числа на циферблате, чтобы разность стала не больше 2?
b) А можно так переставить, чтобы разность стала не меньше 5?
c) И так, чтобы разность стала не меньше 6?
 

9.  

На плоскости проведено n прямых так, что никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. На сколько частей эти прямые делят плоскость?



Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS