МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Имеются двое песочных часов: на 7 минут и на 11 минут. Каша варится 15 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся часов?
 

В ряд выложены карточки, на которых написаны числа 7, 8, 9, 4, 5, 6, 1, 2, 3. Разрешается взять несколько подряд лежащих карточек и переставить их в обратном порядке. Можно ли за три таких операции добиться расположения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

В клетках таблицы 4 × 4 расставлены числа от 1 до 16 так, как показано на первом рисунке. Разрешается прибавить единицу одновременно ко всем числам любой строки или вычесть единицу из всех чисел любого столбца. Можно ли с помощью таких операций получить таблицу, приведенную на втором рисунке?

Разложите гири с весами 1, 2, 3, … , 555 на три кучи, равные по весу.

Докажите, что в 400-значном числе 84198419…8419 можно вычеркнуть несколько цифр в начале и в конце так, чтобы сумма оставшихся цифр была равна 1984.
 

Найдите a) однозначное, b) двузначное число, сумма цифр которого не меняется при умножении на любое однозначное число.
 

Существуют ли два последовательных натуральных числа, сумма цифр каждого из которых делится на 7?
 

Имеются два ведра, одно ёмкостью 4 л, другое — 9 л. Можно ли набрать из реки ровно 6 л воды?
 

Имеются три ведра, ёмкостью 5 л, 8 л и 12 л. Самое большое ведро наполнено молоком. Как разделить молоко на две равные части (чтобы в 8-литровом и 12-литровом вёдрах было по 6 литров молока)?