МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Ответ. 50×49 способами.

Решение. Капитана мы можем выбрать 50 способами. А, после того как мы выбирем капитана, штурмана мы можем выбрать 49 способами. То есть, на каждого капитана у нас есть 49 вожможностей выбрать штурмана. Поэтому всего 50×49 возможностей выбрать капитана и штурмана.

Ответ. 48×47×46/(3×2×1).

Решение. Как и в предыдущей задаче, для выбора первого матроса, у нас есть 48 вариантов, для выбота второго --- 47, для выбота третьего --- 46.
Если бы нам нужно было выбрать главного, среднего и младшего матроса, то эта задача была бы точно такой-же, как и предыдущая, и ответ у неё был бы 48×47×46.
Но в нашей задаче все матросы одинаковые и нам нужно просто выбрать 3 матроса. Поэтому нам не вожно, кого из ниx мы выбираем первым, кого --- вторым, а кого --- третьим. Поэтому, после того как мы выбрали первого, второго и третьего матроса, нам нужно посчитать, сколько способов выбора матросов будут для нас одинаковыми. Пусть первым мы выбрали Джека, вторым --- Джона, а третьим --- Гарии. Для нас это тоже самое, что первым выбрать Гарии, вторым Джека, а третьим Джона или первым выбрать Гарии, вторым Джона, а третьим Джека. Нужно посчитать, сколько существует способов выбрать из трёx матросов первого, второго и третьего. Такиx способов 3×2×1 = 6 (почему?). Поэтому у нас всего 48×47×46/(3×2×1) способов выбрать трёx матросов.

Ответ. ((6×5)/(2×1)) × ((9×8×...×5)/(5×4×...×1)) × ((17×16×...×9)/(9×8×...×1))

Указание. Посчитайте сначало, сколькими способами можно выбрать офицеров, сколькими --- мичманов и сколькими матросов.
Предположим, что офицеров можно выбюрать X способами, мичманов --- Y, а матросов Z способами. Тогда, на каждый выбор офицеров у нас есть Y способов выбрать мичмана, а на каждый выбор офицеров и мичманов Z способов выбрать матросов. Значит всего X×Y×Z способов выбрать и тех, и других и третьих.

Решение. 1. Выберем 2 офицеров из 6.(Задача точно такая-же как и предыдущая, только немного легче!) Первого офицера выбираем 6 способами, второго --- 5. Из двух человек первого и воторого мы можем выбрать 2 способами. Значит офицеров можно выбрать (6×5)/(2×1) способами.
2. Рассуждая точно так-же, получаем, что мичманов мы можем выбрать (9×8×...×5)/(5×4×...×1) способами, а матросов --- (17×16×...×9)/(9×8×...×1) способами.
А дальше применяем указание и находим ответ.

Ответ. (17×16×...×5)/(13×12×...×1)+ 13×(17×16×...×6)/(12×11×...×1) способов.

Решение. У нас два варианта, либо 0 мичманов и 13 матросов, либо 1 мичман и 12 матросов.
1 вариант: из 17 матросов нужно выбрать 13 кандидатов. Это можно сделать (17×16×...×5)/(13×12×...×1) способами.
2 вариант: из 9 мичманов нужно выбрать 1, а из 17 матросов ---- 12. Мичманов мы можем выбрать 13 способами, а матросов --- (17×16×...×6)/(12×11×...×1) способами. Тогда мичмана и матроса мы моожем выбрать 13×(17×16×...×6)/(12×11×...×1) способами.
Всего у нас есть (17×16×...×5)/(13×12×...×1)+ 13×(17×16×...×6)/(12×11×...×1) способов. (Тут мы способы складываем, а не умножаем, так как мы выбираем либо первый, либо второй вариант!)

Ответ. (26×25×...×24)/(13×12×...×1) - (17×16×...×5)/(13×12×...×1)+ 13×(17×16×...×6)/(12×11×...×1) способов

Указание. Эту задачу можно решать точно так-же как и предыдущую --- рассмотреть 8 вариантов: 2 мичмана, 3 мичмана, ..., 9 мичманов; и потом сложить ответы. А можно воспользоваться ответом предыдущей задачи.
Посчитаем, сколько у нас есть способов выбрать команду, состоящую из 13 человек, из мичманов и матросов. А потом вычесть из этого числа количество способов выбора команды, в которой не более 1 мичмана. Мы получим количество способов выбрать команду в которой не менее 2 мичманов.

Ответ. 16×(37×36)/2 + 37×(16×15)/2.

Указание. Так как нам нужно построить треугольник с вершинами-остравами, то у него две вершины будут лежать на одной прямой, а третья --- на другой. Поэтому возможно два варианта.
1 вариант. Две вершины на прямой с 16 островами и одна на прямой с 37 островами. Посчитем, сколько таких треугольников. Первую и вторую вершину можно выбрать (16×15)/2 способами. Для каждой такой пары вершин третью вершину мы можем выбрать 37 способами. Всего получается 37×(16×15)/2 способов.
2 вариант. Две вершины на прямой с 37 островами, и одна на прямой с 16 островами. Всего существует 16×(37×36)/2 таких треугольников.
Теперь полученные результаты надо сложить.

Ответ. 47×46×45×...×1 дней.

Указание. Первым всегда ест капитан, вторым --- штурман, последним ест кок. Третьим может есть один из оставшейся команды, то есть один из 47 человек, четвёртым --- один из оставшихся 46 и так далее.

Ответ. ХХХХХХХХХХХХХХХ

Указание. Для решения похожих задач существает один метод. Перенумеруем команду без капитана от 1 до 49, а оставшиеся 600 монет выложим в ряд. Возьмёь 48 палочек и положим их между монетами. Первому из команды дадим все монеты, которые лежат до 1 палки, второму --- все монеты, которые лежат между первой и второй палкой, и так далее. Если две палки лежат рядом, то кому-то монет не достанется. 49 члену команды достанутся все монеты, которые ледат после последней, 48 палки (если после 48 полки ничего не лежит, то ничего и не достанется).
Посчитаем теперь сколько существует способов так разложить палки. У нас всего 648 предметов --- 600 монет и 48 палки. Мы их можем выложить в ряд 648! способами (648! = 1×2×3×...×648). Так как нам не важно в каком порядке лежат монеты и в каком порядке лежат палки, то некоторые из этих способов будут для нас одинаковыми. Монеты мы можем переставлять 600! способами, а палки --- 48! способами, при этом количество монет между палками не изменится. Поэтому среди всех 648! способов 600!×48! будут одинаковыми. Значит, у нас остаётся всего 648!/(600!×48!) различных способов.