МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 24 (18 апреля 2015 года)

1.

Нарисуйте замкнутую ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с двумя другими и содержащую ровно а) 5; б) 7; в) 12; г) 10; д) 100; е) 2024 звеньев.

2.

Имеется 15 карточек, пронумерованных числами от 1 до 15. Эти карточки разложили в две стопки.

а)

Верно ли, что найдутся две карточки в одной стопке, сумма номеров которых есть точный квадрат?

б)

А если карточек 14 (и они пронумерованы от 1 до 14)?

3.

Можно ли нарисовать фигуру, изображенную на a) Рис. 1а; б) Рис. 1б, не отрывая карандаша от бумаги и проводя каждый отрезок ровно один раз?

Рис. 1а	Рис. 1б

4.

В двух странах вместе 11 городов. Между некоторыми городами разных стран проложены дороги (не более одной на пару городов). Известно, то один город соединен с семью, один с пятью, пять — с двумя, четыре — с одним городом. Сколько городов в странах?

5.

(Задача о Кёнигсбергских мостах) Можно ли обойти все мосты Кёнигсберга (см. рис. 2), пройдя по каждому ровно один раз?

Рис. 2

6.

На школьной олимпиаде первую задачу решили 9 учеников 10б класса, вторую — 7 учеников, третью — 5 учеников, четвертую — 3 ученика, пятую — один. Все ученики 10б, кроме Пети, решили одинаковое число задач, а Петя - на одну больше. Стал ли Петя призером, если приз давали за решение 4 или 5 задач?

7.

Каждый из участников олимпиады решил различное число задач, и каждая из задач была решена различным числом участников. Докажите, что существует школьник, решивший ровно одну задачу.

8.

Можно ли раскрасить рёбра куба в чёрный и белый цвета так, чтобы из любой вершины можно было перейти в любую другую, двигаясь только по чёрным рёбрам, а также двигаясь только по белым рёбрам?

9.

В городе есть дороги трёх типов: однополосные, двухполосные и трёхполосные. На каждом перекрёстке в городе сходятся три дороги, причем разных типов. Иными словами, каждый перекрёсток есть разделение трёхполосной дороги на двухполосную и однополосную. Тупиков в городе нет. Три городских дороги выходят за пределы города и превращаются в шоссе. Докажите, что из города выходит ровно по одному шоссе каждого типа.