МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 4 (11 октября 2014 года)

1.

По кругу расставлены цифры 1, 2, 3, ..., 9 в произвольном порядке. Каждые две цифры, стоящие подряд по часовой стрелке, образуют двузначное число. Чему может быть равна сумма всех девяти таких чисел?

2.

Разрежьте фигуру на рисунке на две равные части.

3.

Электропоезд длиною 18 м проезжает мимо столба за 9 секунд. Сколько времени ему понадобится, чтобы проехать мост длиною 36 м?

4.

У двух человек было два квадратных торта. Каждый сделал на своем торте по 2 прямолинейных разреза от края до края. При этом у одного получилось три куска, а у другого — четыре. Как это могло быть?

5.

У Пети в кармане несколько монет. Если Петя наугад вытащит из кармана 3 монеты, среди них обязательно найдётся монета «1 рубль». Если Петя наугад вытащит 4 монеты, среди них обязательно найдётся монета «2 рубля». Петя вытащил из кармана 5 монет. Назовите эти монеты.

6.

Дана квадратная таблица 4× 4, в каждой клетке которой стоит «+», либо «−» (см. рис.). За один ход можно поменять все знаки в любой строке или в любом столбце на противоположные. Можно ли через несколько ходов получить таблицу из одних плюсов?

а)	б)	в)

7.

Чебурашка решил изучить число 100 000 000. Его интересует, каких натуральных делителей у ста миллионов больше — тех, которые меньше десяти тысяч или бoльших десяти тысяч. Скорее помогите ему решить этот вопрос, пока он не принялся выписывать все делители!

8.

На круглый стол выкладываются одинаковые монеты. Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его соперник?

9.

На прямоугольном куске хлеба лежит кружок колбасы. Докажите, что этот бутерброд можно разрезать одним прямолинейным разрезом на два так, чтобы и хлеб, и колбаса разделились поровну.

10.

Разрежьте лесенку на рисунке так, чтобы из полученных частей можно было сложить квадрат.

Дополнительные задачи

1.

Найдите хотя бы одну тройку натуральных чисел x, y, z такую, что x³ + y⁴=z⁵.

2.

Разрежьте зубчатый квадрат на картинке на 5 частей, из которых можно сложить обыкновенный.

3.

Имеются пять листочков бумаги — два белых и три чёрных. Серёжа наклеил Пете, Коле и Васе по одному чёрному листочку на лоб и предложил каждому угадать, какого цвета листочек у него на лбу. Через некоторое время все трое хором назвали правильный ответ. Как им это удалось?