МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 10 (22 ноября 2014). Делимость

1.

Николай с сыном и Петр с сыном были на рыбалке. Николай поймал столько же рыб, сколько и его сын, а Петр — втрое больше, чем его сын. Всего было поймано 25 рыб. Как зовут сына Петра?

2.

Ковбой Билл зашёл в бар и попросил у бармена бутылку виски за 3 доллара и шесть коробков непромокаемых спичек, цену которых он не знал. Бармен потребовал с него 11 долларов 80 центов, и в ответ на это Билл вытащил револьвер. Тогда бармен пересчитал стоимость покупки и исправил ошибку. Как Билл догадался, что бармен пытался его обсчитать?

3.

В норке живёт семья из 24 мышей. Каждую ночь ровно четыре из них отправляются на склад за сыром. Может ли так получиться, что в некоторый момент времени каждая мышка побывала на складе с каждой ровно по одному разу?

4.

Барон Мюнхгаузен рассказывал, что, вытаскивая себя за косицу из болота, он успел не только пересчитать все волосы на голове, но и перемножить цифры получившегося числа, и утверждал, что вышло в точности 2310. Не ошибался ли достопочтенный барон?

5.

В шести корзинах лежат груши, сливы и яблоки. Число слив в каждой корзине равно числу яблок в остальных корзинах вместе взятых, а число яблок в каждой корзине равно числу груш в остальных корзинах вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 31.

6.

Стёпа играл в солдатиков. Сначала он попытался построить их парами, но один солдатик оказался лишним. Тогда Стёпа стал строить солдат тройками, но снова один остался. Та же история повторялась и при построениях по 4, по 5 и по 6. Стёпа уже приготовился выбрасывать непослушного, но тут ему наконец удалось построить всех в колонну по 7. а) Сколько солдатиков могло быть у Стёпы, если их было меньше 500? б) А если солдатиков было меньше 5000?

7.

Саша записал на доске год своего рождения, а затем вычел из него сумму цифр записанного числа. Получилось число 1971. В каком году мог родиться Саша? Его младший брат Вовочка проделал то же самое со своим годом рождения и получил число 2001. Докажите, что Вовочка ошибся.

8.

Может ли число, составленное только из четвёрок, делиться на число, составленное только из троек? А наоборот?

9.

Петя и Вася по очереди слева направо пишут цифры 2014-значного числа. Первым ходит Петя. Выясните, кто выигрывает при правильной игре в каждой из следующих ситуаций:

а)

Если в результате получится число, делящееся на 10, выигрывает Вася, иначе — Петя;

б)

Если в результате получится число, делящееся на 7 выигрывает Петя, иначе — Вася;

в)

Если в результате получится число, делящееся на 3 выигрывает Вася, иначе — Петя;

г)

Если в результате получится число, делящееся на 20 выигрывает Вася, иначе — Петя;

д)

Если в результате получится число, делящееся на 13 выигрывает Вася, иначе &mash; Петя.

10.

Вася нашел, чему равно число 100! = 1·2·3·...·99·100, и сложил его цифры. Затем он сложил цифры получившегося числа и так далее, пока не получилось однозначное число. Что это за число?

11.

Существуют ли а) шесть, б) 15, в) 1000 таких различных натуральных чисел, что для любых двух a и b из них сумма a + b делится на разность a − b?