МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 6 (25 октября 2014 года)

1.

В фотоателье залетели 50 птиц — 18 скворцов, 17 трясогузок и 15 дятлов. Каждый раз, как только фотограф щёлкнет затвором фотоаппарата, какая-то одна из птичек улетит (насовсем). Какое наибольшее число кадров сможет сделать фотограф, чтобы быть уверенным, что у него останутся птицы всех трёх видов?

2.

В коробке шоколадные конфеты выложены в один слой в виде квадрата. Сладкоежка съел все конфеты по периметру — всего 44 конфеты. Сколько конфет осталось в коробке?

3.

Незнайка выбирает какое-нибудь слово и выписывает все слова (в том числе неосмысленные), которые можно получить, переставляя в нём буквы. Сколько слов он выпишет, если выберет слово а) ПОРА; б) ПАРА; в) ШПУНТИК; г) РОКОКО; е) ГОЛОВОЛОМКА.

4.

Если класс из 30 человек рассадить в зале кинотеатра, то в любом случае хотя бы в одном ряду окажется не менее двух одноклассников. Если то же самое проделать с классом из 25 человек, то обязательно по крайней мере три ряда окажутся пустыми. Сколько рядов может быть в этом зале?

5.

Карлсон может съесть банку варенья за пять минут, фрекен Бок — за полчаса, а Малыш — за час. За какое время они съедят эту банку вместе?

6.

Можно ли покрыть всю плоскость квадратами, среди которых всего два одинаковых? (Квадраты должны не перекрываться).

7.

Дан угол в 36°. Как с помощью циркуля и линейки построить угол в 99°?

8.

Боря гулял по стороне BC треугольника ABC, а Андрей — по стороне AC. В некоторый момент они увидели друг друга, повернули и пошли навстречу друг другу. Укажите все точки треугольника, в которых мальчики могли встретиться. (Скорости мальчиков одинаковы.)

9.

Можно ли найти а) три; б) восемь таких натуральных чисел, что ни одно из них не делится ни на какое другое, но квадрат любого из этих чисел делится на каждое из остальных?

10.

Можно ли расставить охрану вокруг расположенного в степи небольшого секретного объекта так, чтобы ни к объекту, ни к часовым нельзя было незаметно подкрасться? (Каждый часовой стоит неподвижно и видит на 100 м строго вперёд.)