МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 8 (8 ноября 2014 года). Взвешивания

Сегодня в некоторых задачах рассматриваются чашечные весы без гирь. У таких весов есть две чаши, на каждую из которых мы можем что-нибудь положить. Если вес предметов на чашах оказался равным, то чаши не меняют своего положения, иначе чаша с бoльшим весом опускается, а с меньшим поднимается. Узнать, на сколько одна чаша тяжелее другой, с помощью таких весов невозможно.

1.

а)

Имеются три одинаковые по виду старинные монеты. Две из них имеют одинаковую массу, а третья легче. Как ее обнаружить с помощью одного взвешивания на чашечных весах без гирь?

б)

Можно ли обойтись двумя взвешиваниями, чтобы среди 9 монет найти одну фальшивую, которая легче остальных?

2.

Есть три монеты. Среди них — две настоящие и одна фальшивая. Фальшивая отличается от настоящей по весу, но неизвестно, легче она или тяжелее. Как с помощью нескольких взвешиваний на чашечных весах без гирь найти фальшивую монету?

3.

Карлсон задумал какое-то число от 1 до 8, а Малыш пытается его отгадать. Он задаёт Карлсону вопросы, на которые тот отвечает только «ДА» или «НЕТ». Как Малышу отгадать число за три вопроса?

4.

Имеется восемь монет, одна из которых фальшивая и легче настоящих. Чашечные весы без гирь таковы, что если на них положить грузы равной массы, то может перевесить любая из чаш, а иначе обязательно перевесит та чаша, на которой груз тяжелее. Как за три взвешивания найти фальшивую монету?

5.

Ваня хочет взвесить 3 кг муки. Как он может это сделать при помощи стандартных чашечных весов и двух гирь — 10 кг и 2 кг?

6.

Алиса выяснила, что 4 кошки и 3 котенка весят 15 кг, а 3 кошки и 4 котенка — 13 кг. Сколько весит кошка, и сколько весит котенок?

7.

Незнайка интересуется художественными вкусами своих знакомых. Каждый день он подходит к кому-нибудь (кого он ещё не спрашивал) и задает пять вопросов: «Нравятся ли тебе картины Рембрандта?», «Нравятся ли тебе картины Ван Гога?», и ещё три аналогичных вопроса про картины Пикассо, Дали и Кандинского. На каждый из вопросов принимается только один из ответов «нравится», «не нравится», «мне всё равно». Незнайка заявил: «Уже больше года я каждый день задаю кому-нибудь этот вопрос, и сколько разных людей опросил, столько разных мнений!» Не ошибается ли Незнайка?

8.

Среди 25 монет есть одна фальшивая, которая отличается от остальных по весу. Как при помощи чашечных весов без гирь за два взвешивания определить, легче фальшивая монета или тяжелее? (Находить ее не требуется)

9.

В 10 мешках с монетами лежит по 10 монет. Но в одном из мешков лежат фальшивые монеты, причем известно, что настоящая монета весит 10 г, а фальшивая всего 9 г. Можно ли за одно взвешивание на весах со шкалой в граммах определить, в каком мешке находятся фальшивые монеты?

10.

На этот раз Карлсон задумал какое-то число от 1 до 70, а Малыш пытается его отгадать. Он задаёт Карлсону вопросы, на которые тот отвечает только «ДА» или «НЕТ». За какое наименьшее число вопросов Малыш может отгадать задуманное число?

11.

Имеется 50 монет, одна из которых фальшивая, причём она легче других. За какое наименьшее число взвешиваний можно найти фальшивую монету?