МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 3 (4 октября 2014 года). Чётность

1.

На столе лежат 13 шестерёнок, соединенных в замкнутую цепочку. Могут ли все шестерёнки вращаться одновременно?

2.

Кузнечик умеет прыгать вдоль прямой на 6 см и на 8 см. Сможет ли он попасть в точку, расстояние от которой до исходной

а)

1,5 см;

б)

7 см;

в)

4 см;

г)

2014 см?

3.

Чебурашка выписал все числа от 1 до 1000000. И задумался, что больше: сумма всех нечётных чисел или сумма всех чётных чисел (среди выписанных), и на сколько. Скорее помогите Чебурашке решить этот вопрос, пока он не принялся считать обе суммы в столбик.

4.

а)

В строчку написаны 10 единиц. Петя и Вася по очереди ставят между какими-нибудь соседними числами знак: «+», либо «−» (если там еще нет знака). Начинает Петя. Когда между всеми соседними числами будет стоять знак, вычисляют значение полученного выражения. Если оно чётное, то выигрывает Петя, иначе — Вася. Может ли один из ребят играть так, чтобы всегда выигрывать (как бы не играл другой), и если может, то как ему следует играть?

б)

Та же задача, но ребята ставят между числами либо «+», либо «×». (В конце игры при вычислении выражения сначала выполняются умножения, а потом — сложения).

5.

Улитка ползёт из точки А с постоянной скоростью, поворачивая на 90° в какую-нибудь сторону каждые 15 минут. Докажите, что она может вернуться в точку А только через целое число часов.

6.

Ребята считали ворон. Витя сказал, что число ворон было простым. Костя сказал, что их было 9. Петя утверждал, что число ворон было чётно, а Рома — что ворон было ровно 15. Сколько было ворон, если Витя и Костя вместе высказали ровно одно истинное утверждение, так же, как и Петя и Рома?

7.

Можно ли написать в строчку 7 чисел так, чтобы сумма любых трёх последовательных чисел была больше нуля, а сумма всех чисел — меньше нуля?

8.

Незнайка провёл измерения и выяснил, что у его четырёхугольного дачного участка ABCD стороны AB и CD равны, а также равны углы A и C. Незнайка отсюда сделал вывод, что его участок — параллелограмм. Обязательно ли это так?

9.

Раскрасьте клетки доски 7×7 в синий и красный цвета так, чтобы в любом квадрате 3×3 синих клеток было на одну больше, чем красных.

10.

В обращении есть монеты достоинством в 1, 2, 5, 10, 20, 50 копеек и 1 рубль. Известно, что k монетами можно набрать m копеек. Докажите, что m монетами можно набрать k рублей.