МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 18 (7 марта 2015 года). Рукопожатия

1.

На съезд математиков приехало 110 участников и каждый пожал руки каждому. Сколько было сделано рукопожатий?

2.

На острове 7 озер, из каждого вытекает 3 реки и в каждое впадает 2 реки. (Реки впадают только в другое озеро или океан). Сколько рек впадает в океан?

3.

В одном очень странном справочнике утверждается, что число людей, когда-либо живших на Земле и сделавших нечетное число рукопожатий, нечетно. Нет ли опечатки в очень странном справочнике?

4.

У многогранника 10 вершин. В каждой сходится 4 ребра. а) Сколько у него рёбер? б) Приведите пример такого многогранника.

5.

Можно ли нарисовать на плоскости 9 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими?

6.

Существует ли многогранник, у которого ровно семь рёбер?

7.

В лагере собралось 6 именинников и несколько неименинников. Каждый неименинник поздравил двоих именинников, при этом каждому имениннику досталось по три поздравления. Сколько было неименинников?

8.

Гранями многогранника являются два треугольника и три четырёхугольника. а) Сколько у него рёбер? б) Сколько у него вершин? в) Приведите пример такого многогранника.

9.

Компания из нескольких друзей вела переписку так, что каждое письмо получали все, кроме отправителя. Каждый написал одно и то же количество писем, в результате чего всеми вместе было получено 440 писем. Сколько человек могло быть в этой компании?

10.

Максим поспорил с Петей на щелбан: он утверждал, что может построить систему из восьми городов и дорог между ними так, чтобы из этих городов выходило бы соответственно 7, 7, 7, 5, 3, 3, 2, 2 дороги (два города могут быть соединены не более чем одной дорогой). Почему так ехидно ухмыляется Петя?

11.

У Коли всего 28 одноклассников. У каждых двух из 28 различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Коли?