МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 19 (14 марта 2015 года)

1.

В треугольнике длина одной стороны равна 3,8, а длина другой стороны равна 0,6. Найдите длину третьей стороны, если известно, что она выражается целым числом.

2.

Из стакана молока три ложки содержимого переливают в стакан с чаем и небрежно помешивают. Затем зачерпывают три ложки полученной смеси и переливают их обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: чая в стакане с молоком или молока в стакане с чаем?

3.

Встретились несколько друзей. Каждый из них обменялся рукопожатием с каждым, кроме Стёпы, который, будучи не в духе, некоторым пожал руку, а некоторым — нет. Всего было сделано 197 рукопожатий. Сколько рукопожатий сделал Стёпа?

4.

В памяти робота записано число 2015. За одну операцию робот может прибавить к имеющемуся числу 10, поменять цифры в разряде десятков и сотен местами, а также умножить имеющееся число на 11. Может ли робот за несколько ходов добиться того, чтобы в его памяти оказалось записано число 20144102?

5.

У многогранника 12 вершин. В каждой из них сходится 4 грани. Сколько у него рёбер? Приведите пример такого многогранника.

6.

В вершине A единичного квадрата ABCD сидит муравей. Ему надо добраться до точки C, где находится вход в муравейник. Точки A и C разделяет вертикальная стена, имеющая вид равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой BD. Найдите длину кратчайшего пути, который надо преодолеть муравью, чтобы попасть в муравейник.

7.

Пятачок по своему усмотрению отмечает точку X внутри подаренного Кроликом треугольного торта ABC и режет торт на три треугольных куска ABX, BCX, CAX. Затем Винни-Пух и Ослик по очереди выбирают себе по куску, а оставшийся кусочек достаётся Пятачку. Какую максимальную часть торта может обеспечить себе Пятачок? Как ему найти самое лучшее место для точки X?

8.

Разменный автомат меняет одну монету на пять других. Можно ли с его помощью разменять металлический рубль на 26 монет?

9.

Пять футбольных команд провели турнир – каждая команда сыграла с каждой по разу. За победу начислялось 3 очка, за ничью – 1 очко, за проигрыш очков не давалось. Четыре команды набрали соответственно 1, 2, 5 и 7 очков. А сколько очков набрала пятая команда?