МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 9 (15 ноября 2014 года)

1.

Дома Пятачка, Иа и Винни-Пуха расположены в вершинах треугольника и соединены друг с другом прямыми дорогами. Делая утреннюю зарядку, Пятачок пробежал от своего дома к дому Иа, затем — к дому Винни-Пуха, после чего вернулся домой. В это время Винни-Пух в задумчивости прошёл от своего дома к дому Иа и вернулся обратно. Чей путь был длиннее?

2.

Сколькими способами можно расставить в клетках полоски 1×12 нули и единицы так, чтобы сумма любых трёх подряд идущих чисел была чётна?

3.

Человек дал торговцу купюру в 20 долларов и попросил продать шляпу за 10 долларов. У торговца не оказалось мелких денег, и он разменял эту купюру у другого торговца. Человек взял шляпу, 10 долларов сдачи и ушел. В это время другой торговец обнаружил, что купюра в 20 долларов — фальшивая, и потребовал у первого торговца настоящей. Тот заплатил. Какой убыток он понес?

4.

В селе A живут 100 школьников, а в селе B — 200. Где нужно построить школу, чтобы суммарное расстояние, проходимое всеми школьниками, было бы как можно меньше?

5.

На дороге, соединяющей два аула, нет горизонтальных участков. Автобус идёт в гору всегда со скоростью 15 км/ч, а под гору — 30 км/ч. Найдите расстояние между аулами, если известно, что путь туда и обратно автобус проезжает за 4 часа.

6.

На доске написано несколько положительных чисел, каждое из которых равно полусумме остальных. Сколько чисел написано на доске?

7.

На катетах AB и BC прямоугольного треугольника ABC построили квадраты АВPQ и ВСSR. Докажите, что длина диагонали АС равна сумме расстояния от точки Q до прямой АС и расстояния от точки S до прямой АС.

8.

Можно ли в таблице 5×5 расставить несколько целых чисел так, чтобы сумма чисел в любом столбце равнялась девяти, а в любой строке — десяти?

9.

10 друзей послали друг другу праздничные открытки. Каждый послал 5 открыток. Докажите, что какие-то двое послали открытки друг другу.

10.

Барон Мюнхгаузен утверждает, что может нарисовать такой многоугольник и точку внутри него, что ни одна из сторон многоугольника не будет видна из неё целиком. Не ошибается ли он? (Многоугольником называется замкнутая ломаная без самопересечений).