МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 14 (7 февраля 2015 года). Всякая всячина

1.

Найдите наименьшее трёхзначное число, равное сумме квадратов двух натуральных чисел.

2.

Для какой точки X на границе данного параллелограмма ABCD площадь треугольника ABX — наибольшая?

3.

Пёс и кот одновременно схватили зубами батон колбасы с разных сторон. Если пёс откусит свой кусок и убежит, коту достанется на 300 г больше, чем псу. Если кот откусит свой кусок и убежит, псу достанется на 500 г больше, чем коту. Сколько колбасы останется, если оба откусят свои куски и убегут?

4.

В треугольнике длины двух сторон равны 17 и 4. Найдите третью, если известно, что её длина делится на 6.

5.

Троих мудрецов посадили так, что первый не видит никого из двух других, второй видит только первого, а третий видит и первого, и второго. Им показали 5 колпаков: 3 красных и 2 чёрных. После этого каждому надели на голову красный колпак. Когда у третьего мудреца спросили, какой колпак на его голове, он ответил: «Не знаю». Такой же ответ дал и второй мудрец. Когда же очередь дошла до первого, тот сказал: «У меня красный колпак». Как он догадался?

6.

Тринадцатиугольный торт разрезали по нескольким непересекающимся диагоналям так, что все куски получились треугольными. Сколько кусков могло получиться?

7.

Разделите треугольник с углами 15°, 105°, 60° на три равнобедренных треугольника.

8.

Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама — за 2, малыш — за 5, а бабушка — за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Могут ли они перейти через мост ровно за 17 минут?

9.

Можно ли все стороны и диагонали правильного 55-угольника раскрасить в 54 цвета так, чтобы все отрезки, выходящие из одной вершины, были разного цвета?