МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 5. Раскраски

Красим клетки

1.

Можно ли шахматную доску 8×8 с вырезанными левой нижней и правой верхней угловыми клетками распилить на доминошки 2×1?

2.

На столе рубашкой вниз лежит игральная карта. Можно ли, перекатывая ее по столу через ребро, добиться того, чтобы она оказалась на прежнем месте, но а) рубашкой вверх; б) рубашкой вниз и вверх ногами?

3

Пространственный лабиринт состоит из 27 кубических комнат, расположенных в виде куба 3×3×3. Из любой комнаты можно перейти в любую соседнюю (через любую стену, пол или потолок). Исследователь лабиринта находится в центральной комнате. Он хочет обойти лабиринт, побывав в каждой комнате ровно по одному разу. Удастся ли ему это?

4.

Можно ли квадрат 10×10 разрезать на фигурки, изображенные на рисунке?

5.

а)

Можно ли доску 10×10 замостить плитками размером 4×1?

б)

Доску m×n замостили плитками размером 1×6. Докажите, что хотя бы одно из чисел m, n делится на 6.

Красим прямую

6.

Прямая раскрашена в два цвета. Докажите, что на ней найдутся три различные одноцветные точки A, B и C такие, что AB = BC.

Красим плоскость

7.

Раскраска географической карты называется правильной, если любые два соседних государства окрашены в разные цвета. Страны, не имеющие общего участка границы, могут быть покрашены в один цвет. а) Верно ли, что для правильной раскраски любой карты достаточно трёх цветов? б) А хватит ли трёх цветов, если все страны имеют форму треугольников?

8.

Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две разноцветные точки на расстоянии 1 м.

9.

Каждая точка плоскости окрашена в один из а) двух, б) трёх цветов. Докажите, что на плоскости найдётся отрезок длины 1 м, концы которого раскрашены одинаково.

10.

Раскрасьте плоскость в 3 цвета так, чтобы на каждой прямой были точки не более, чем двух цветов, и каждый цвет был бы использован.

Дополнительные задачи

11.

Раскрасьте плоскость в несколько цветов так, чтобы вершины никакого равностороннего треугольника со стороной 1 см не были покрашены в один цвет.

12.

В прямоугольную коробочку были сложены несколько прямых тримино (на рисунке слева) так, что они заполняли ее целиком (коробочка такова, что лежащие в ней фигурки не могут налегать друг на друга). Затем одно прямое тримино заменили на тримино-уголок (на рисунке справа). Докажите, что образовавшийся набор не поместится в коробочку.

13.

Дно прямоугольной коробки вымощено плитками 1×4 и 2×2. Плитки высыпали из коробки и одна плитка 2×2 потерялась. Её заменили на плитку 1×4. Можно ли теперь замостить дно коробки?

14.

Клетки шахматной доски 100×100 раскрашены в 4 цвета так, что в любом квадрате 2×2 все клетки разного цвета. Докажите, что угловые клетки доски раскрашены в разные цвета.