МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 1. Задачи для первого знакомства

1.

В бассейн размерами 20×100 метров налили 1000000 литров воды. Можно ли в нём устроить соревнования по плаванию?

2.

На сколько частей могут делить плоскость 4 различные прямые? Для каждого случая нарисуйте пример.

3.

Компания ОГОГО обещает на каждый вложенный рубль через 10 лет выплатить сумму 19991999·2001 руб, а компания ЭГЕГЕ — 20012001·1999 руб. Что выгоднее?

4.

Имеется 9 одинаковых с виду монет. Из них одна фальшивая, которая легче настоящей. Одна из этих монет прилипла к одной из чаш чашечных весов без гирь. Отдирать её некогда. Как за два взвешивания найти фальшивую монету? (Она может быть и прилипшей.)

5.

Гриб называется плохим, если в нём не менее 10 червяков. В лукошке 90 плохих и 10 хороших грибов. Могут ли все грибы стать хорошими после того, как некоторые червяки переползут из плохих грибов в хорошие?

6.

На чаепитие собрались 25 ребят. Каждый принёс по 2 пирожных. Все пирожные разложили на 25 тарелок (по 2 на тарелку). Докажите, что, как бы ни были размещены пирожные, можно так раздать тарелки ребятам, что каждому достанется хотя бы одно пирожное, которое он сам принёс.

Дополнительные задачи

7.

Лёня и Паша шагают по движущемуся вниз эскалатору, не пропуская ступенек. Паша успевает сделать три шага, пока Лёня делает два. Паша, пока спускался, успел сделать 45 шагов, а Лёня, пока спускался, успел сделать только 40 шагов. Сколько ступенек в видимой части эскалатора?

8.

Лист календаря частично закрыт предыдущим листом (смотрите рисунок). Какая его часть больше (по площади): открытая или закрытая?

9.

Подряд выписаны числа 2²⁰⁰⁹ и 5²⁰⁰⁹. Сколько всего выписано цифр?